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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2024/11/5,1,主要内容,半群,独异点,群,2023/8/21主要内容半群,1,2024/11/5,2,半群,定义10.1(1)： 是一个代数系统，,其中S是非空集合，,是S上的一个二元,运算(运算,是,封闭,的)，如果运算,是,可结合,的，即对任意的x,y,zS，满足(x,y),z=x,(y,z),则称代数系统为,半群,.,2023/8/22半群定义10.1(1)： 是一个,2,2024/11/5,3,例10.1,为半群,设n2, 为半群,为半群,A=a,1, a,2, ., a,n,nZ,+,*为A上的二元运算,a, b A有a,i,*a,j,=a,i, 则A关于*运算构成半群,S,k,=x|xZxk,，,为半群,，,不是半群,2023/8/23例10.1,Z,3,2024/11/5,4,例10.2,=a,b ，,+,为,所有由,a, b,组成的字符串,“,”为,字符串的连接运算.,则,做成半群,。,2023/8/24例10.2=a,b ，+为所有由a,4,2024/11/5,5,独异点,定义10.1(2)：,设,是一个半群，,若存在,e,S为S中关于运算,的,单位元,则称为,幺半群,，也叫做,独异点,。,(有时也把单位元标明),2023/8/25独异点定义10.1(2)：设是一,5,2024/11/5,6,例10.1,S,k,=x|xZxk,，,(k0) ？,？,不是独异点,是独异点,2023/8/26例10.1Sk=x|xZxk，,6,2024/11/5,7,例10.2,=a,b ，,+,为所有由a,b组成的字符串 ,“,”为字符串的连接运算.,思考：,半群 是否做成独异点？,空串,*,=,+,做成独异点,2023/8/27例10.2=a,b ，+为所有由a,7,2024/11/5,8,例10.3,幂集？,？,？,2023/8/28例10.3幂集？,8,2024/11/5,9,10.4,是单位元,可结合性在运算表中无特殊体现,2023/8/2910.4是单位元,9,10,群(Group),定义10.1（3）：设是一个代数系统，其中G是非空集合，,是G,上一个二元运算，如果,(1).运算,是封闭的,(2).运算,是可结合的,(3).存在单位元e,(4).,对于每一个元素xG，存在着它的逆元x,-1,则称是一个群,10群(Group)定义10.1（3）：设是一个代,10,2024/11/5,11,例10.1,S,k,=x|xZxk,，,(k0) ？,？,不是群,不是群,2023/8/211例10.1Sk=x|xZxk，,11,2024/11/5,12,例10.2,=a,b ，,+,为所有由a,b组成的字符串 ,”,”为字符串的连接运算.,空串,*,=,+,思考：,独异点,是否做成群？,2023/8/212例10.2=a,b ，+为所有由,12,2024/11/5,13,例10.3,幂集？,？,？,单位元和逆元?,2023/8/213例10.3幂集？,13,2024/11/5,14,例10.4(1-2),(1),整数加,群,(2),模n整数加群,思考: 是不是群?,2023/8/214例10.4(1-2)(1) 整,14,2024/11/5,15,例10.4(3-6),(3),n阶实矩阵加,群,(4),n阶实可逆矩阵乘法群；,(5) 所有行列式为1的n阶实可逆矩阵,关于矩阵乘法；,2023/8/215例10.4(3-6)(3) Mn(R),15,2024/11/5,16,例10.5,Klein 四元群G=,e,a,b,c,2023/8/216例10.5Klein 四元群G=e,a,16,2024/11/5,17,例10.5(2),Klein 四元群G=,e,a,b,c,e=,(0,0),a=,(0,1),b=,(1,0),c=,(1,1),运算为逐分量模2加法,2023/8/217例10.5(2)Klein 四元群G=,17,2024/11/5,18,群的,等价定义,定理,(,等价定义,),可结合，若存在右单位元,e,，且每个元素,a,相对于,e,存在右逆元,a,，则,G,是群.,证明,:,封闭性,可结合性,单位元？,逆元？,2023/8/218群的等价定义定理 (等价定义) G,18,2024/11/5,19,群的,等价定义,证明,:,证,e,为左单位元,.,a,G,有,a,e,=,a,所以有,e,e = e,(,e,为右单位元,),。设存在,a,G,使得,a,a,=,e,代入得,e,(,a,a,) =,a,a,.,因为,a,G,存在,a,G,使得,a,a, =e,上式两边右乘,a,得,e,a,a,a,=,a,a,a,而,a,a,=e,因此有,e,a,=,a .,e,是,G,中的单位元,.,证,a,为,a,的左逆元，设,a a=e,a, =,e,a, =,(,a,a,),a, =,a,(,a,a,),=,a,e = a,2023/8/219群的等价定义证明: 证e为左单位元.,19,2024/11/5,20,群的相关术语（定义10.2）,平凡群,只含单位元的群,e,有限群与无限群,群,G,的阶,G,的基数，通常有限群记为,|,G,|,交换群,或,阿贝尔（Abel）群,2023/8/220群的相关术语（定义10.2）平凡群 只含,20,2024/11/5,21,例10.6（交换群）,(1),无限群,;,(2),模6整数加群，阶为6,(3),模4整数加群，阶为4,(4),Klein 四元群G=,e,a,b,c,，,阶为4,(5) 群，阶为| P(B)|,2023/8/221例10.6（交换群）(1) 无,21,2024/11/5,22,n次幂,定义 设,是一个半群，,x,S, n,Z,+, 定义的,x,的,n,次幂,x,n,为:,推广到独异点,2023/8/222n次幂定义 设是一个半群，,22,2024/11/5,23,n次幂实例,在半群,中,x,Z,x,的,n,次幂是,在半群,中,x,P(B),x,的,n,次幂是,2023/8/223n次幂实例在半群中, xZ,23,2024/11/5,24,n次幂（,推广到群,）,定义10.3 设,是一个群，,x,G,n,Z, 定义的,x,的,n,次幂,x,n,为:,2023/8/224n次幂（推广到群）定义10.3 设G,24,2024/11/5,25,元素的阶,定义10.4 设,G,是群，,a,G,，元素,a,的阶,|,a,|,：使得,a,k,=e,成立的最小正整数,k,.,记作 |,a,|=,k,也称,a,为,k,阶元,与群的阶比较,有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因子！）；,元素都是有限阶的群不一定是有限群,.,2023/8/225元素的阶,25,2024/11/5,26,例10.6（元素的阶）,(1),无限群,， |0|=1,(2),模6整数加群，元素的阶,(3),模4整数加群，元素的阶,(4),Klein 四元群G=,e,a,b,c,(5) 群中元素的阶,2023/8/226例10.6（元素的阶）(1) ,26,2024/11/5,27,幂运算的性质,定理10.,1,幂运算规则,(,a,-1,),-1,=,a,(,ab,),-1,=,b,-1,a,-1,a,n,a,m,=a,n+m,(,a,n,),m,=,a,nm,若,G,为,Abel,群，则,(,ab,),n,=,a,n,b,n,说明：,等式,1,和,2,证明用到逆元定义和唯一性,等式,3,和,4,的证明使用归纳法并加以讨论,等式,2,可以推广到有限个元素之积,.,2023/8/227幂运算的性质定理10.1 幂运算规则,27,2024/11/5,28,模n剩余类,设,Z,是整数集合,，,n是任意正整数，,Z,n,是由模n的同余（剩余）类组成的集合，在,Z,n,上定义两个二元运算+,m,和,m,:,i,j,Z,n,i,+,m,j=(i+j),mod,m,i,m,j=(i,j),mod,m,eg.，(,令,n,为素数和不为素数两种),2023/8/228模n剩余类设Z是整数集合，n是任意正整数,28,2024/11/5,29,整数同余式,定义（同余）：称整数a模正整数m同余于,整数b，记为ab（mod,m,）是指m|a-b,m称为模数。,m|a-b,a=q,1,m+r且b=q,2,m+r，即a和b分别,除以m有相同的余数。,“,同余,”,二字的来源就,在于此,。,2023/8/229整数同余式定义（同余）：称整数a模正整数,29,2024/11/5,30,同余关系,相对于某个固定模数m的同余关系，是整数间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质：,自反性,：对任意整数a有aa（mod m）,对称性,：如果ab(mod m)则ba（mod m）,传递性,：如果ab (mod m）bc（mod m）则ac(mod m),全体整数集合Z可按模m（m1）分成一些两两不交的等价类，称之为,同余类或剩余类,。,2023/8/230同余关系相对于某个固定模数m的同余关系，,30,2024/11/5,31,整数模m同余类共有m个，他们分别为km+0, km+1,km+(m-1)，其中 kZ，每一类都可以选一个代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称0,1,2,m-1为,标准完全剩余系,。,Z模12的标准剩余系为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,同（剩）余类,2023/8/231整数模m同余类共有m个，他们分别为km,31,2024/11/5,32,对于某个固定模m的剩余类可以象普通的数那样相加、相减和相乘：,(1) a(mod m)b(mod m)=(ab)(mod m),(2) a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m),消去率：对于abac（mod m）来说，若(a,m)1则bc(mod m),剩余类间的运算,2023/8/232对于某个固定模m的剩余类可以象普通的数那,32,2024/11/5,33,例：通过同余式演算证明5,60,-1是56的倍数。,解：,注意5,3,=12513(mod56),于是有5,6,13,2,1691(mod56),因此有5,60,1(mod56)，,即有565,60,-1。,剩余类应用举例,，(,令,n,为素数和不为素数两种),2023/8/233例：通过同余式演算证明560-1是56的,33,2024/11/5,34,子半群(子独异点),定义：设是一个半群，B,S且*在B上是封闭的，那么也是一个半群，通常称是半群的,子半群;,设是一个,独异点,，B,S,e,B,且*在B上是封闭的，那么也是一个,独异点,，通常称是独异点的,子独异点。,半群S的子代数是S的子半群,独异点S的子代数是S的子独异点,2023/8/234子半群(子独异点)定义：设是一,34,2024/11/5,35,子半群举例,A,关于矩阵乘法构成半群, 且它是的,子半群,令 , 则V是子独异点,2023/8/235子半群举例,35,2024/11/5,36,子半群的交集,定理10.3: 若干子半群的非空交集仍为子半群；若干子独异点的交集仍为子独异点,.,(只需证明封闭性),思考:若干子半群的并集是否仍然是子半群?,2023/8/236子半群的交集定理10.3: 若干子半群的,36,2024/11/5,37,同态和同构,半群与独异点的同态和同构,半群,f,(,xy,)=,f,(,x,),f,(,y,),独异点,f,(,xy,)=,f,(,x,),f,(,y,),f,(,e,)=,e,2023/8/237同态和同构半群与独异点的同态和同构,37,2024/11/5,38,同态的性质,定理,:,设,f,是从代数系统,A,到代数系统,B,的同态映射，则若,A,是半群,(,独异点,),，则,同态象,f,(A),也是半群,(,独异点,),2023/8/238同态的性质定理:设 f 是从代数系统A到,38,2024/11/5,39,半群的同态性质,定理,设,V,= ,为半群，,V,= ,，为映射复合，,则,V,也是半群，且存在,V,到,V,的同态,.,证： 设,f,a,:,S,S,f,a,(,x,)=,a,x,f,a,S,S,且,f,a,|,a,S,S,S,令：,S,S,S,(,a,)=,f,a,(,a,b,)=,f,a,b,(,a,),(,b,)=,f,a,f,b,为证同态只需证明,f,a,b,=,f,a,f,b,x,S,f,a* b,(x)= a *b* x,f,a,f,b,(x),=,f,a,(b* x)= a *b* x,2023/8/239半群的同态性质定理 设V= ,39,2024/11/5,40,独异点的同构性质,定理,设,V,=,为独异点，则存在,T,S,S,使得,同构于,证：令 ：,S,S,S,(,a,) =,f,a,则,(,a,*,b,) =,(,a,),(,b,),(,e,) =,f,e,=,I,S,为独异点,V,到,的同态,(,a,) =,(,b,),f,a,= f,b, ,x,S,(,a*x,=,b*x,),a*e = b*e,a=b,为单射,令,T,=,(,S,),，则,T,S,S,且,:,S,T,为双射，,2023/8/240独异点的同构性质定理 设V=S,*,e,40,精品课件,！,精品课件！,41,精品课件,！,精品课件！,42,2024/11/5,43,作业,P202,2, 3,4,5, 6,2023/8/243作业P202,43,
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