圆周角定理及其运用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.1.4,圆周角,初三数学组,复习旧知：请说说我们是如何给,圆心角下定义的，试回答？,顶点在圆心的角叫圆心角。,考考你：你能仿照圆心角的定义，,给下图中象,ACB,这样的角下个定义吗？,顶点,在,圆,上，并且,两边,都和,圆相交,的角叫做圆周角,问题探讨：,判断下列图形中所画的,P,是否为圆周角？并说明理由。,P,P,P,P,不是,是,不是,不是,顶点不在圆上。,顶点在圆上，两边和圆相交。,两边不和圆相交。,有一边和圆不相交。,当球员在,B,D,E,处射门时,他所处的位置对球门,AC,分别形成三个张角,ABC,ADC,AEC.,这三个角的大小有什么关系,?.,B,A,C,D,E,生活实践,E,O,B,D,C,A,你能发现什么规律？,AC,所对的圆周角,AEC ABC,ADC,的大小有什么关系？,画,一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置,?,圆心在一边上,圆心在角内,圆心在角外,如图,观察圆周角,ABC,与圆心角,AOC,它们的大小有什么关系,?,说说你的想法,并与同伴交流,.,O,A,B,C,O,A,B,C,O,A,B,C,圆周角定理的证明,H:,第,24,章圆,.,课件,圆周角定理的证明,.,gsp,结论：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。,ACB,的度数与它所对的弧,AB,的度数有什么关系,?,分析,:,连接,OA,OB,AB=,AB,C=,=1/2AOB,ACB,的度数等于它所,对的弧,AB,的度数的一半,.,规律：,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半,当球员在,B,D,E,处射门时,他所处的位置对球门,AC,分别形成三个张角,ABC,ADC,AEC.,这三个角的大小有什么关系,?.,B,A,C,D,E,生活实践,E,O,B,D,C,A,规律：都相等，都等于圆心角,AOC,的一半,AC,所对的圆周角,AEC ABC,ADC,的大小有什么关系？,结论：,同弧或等弧,所对的圆周角相等。,结论,:,圆周角的定理：,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。,结论,:,圆周角的定理：,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？,在同圆或等圆中，如果两个,圆周角,相等，它们所对的,弧,一定相等,巩固练习：,如图，点,A,B,C,D,在同一个圆上，四,边形,ABCD,的对角线把,4,个内角分成,8,个角，这些角中哪些是相等的角？,A,B,C,D,1,2,3,4,5,6,7,8,问题,1,：如图，,AB,是,O,的直径，请问：,C,1,、,C,2,、,C,3,的度数是,。,A,B,O,C,1,C,2,C,3,推论：半圆（或直径）所对的圆周角是,直角,；,90,的圆周角所对的弦是,直径,。,问题,2,：若,C,1,、,C,2,、,C,3,是直角，那么,AOB,是,。,90,180,探究与思考：,A,B,C,1,O,C,2,C,3,归纳：定理,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半,定 理,半圆（或直径）所对的圆周角是直角,;,90,的圆周角所对的弦是直径,在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等,推 论,练一练,1,、如图，在,O,中，,ABC=50,，,则,AOC,等于（）,A,、,50,；,B,、,80,；,C,、,90,；,D,、,100,A,C,B,O,D,2,、如图，,ABC,是等边三角形，,动点,P,在圆周的劣弧,AB,上，且不,与,A,、,B,重合，则,BPC,等于（）,A,、,30,；,B,、,60,；,C,、,90,；,D,、,45,C,A,B,P,B,练一练,3,、如图，,A=50,，,AOC=60,BD,是,O,的直径，则,AEB,等于（）,A,、,70,；,B,、,110,；,C,、,90,；,D,、,120,B,4,、如图，,ABC,的顶点,A,、,B,、,C,都在,O,上，,C,30,，,AB,2,，,则,O,的半径是,。,A,C,B,O,D,E,C,A,B,O,解：连接,OA,、,OB,C=30,，,AOB=60,又,OA=OB,，,AOB,是等边三角形,OA=OB=AB=2,，即半径为,2,。,2,5.,如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下,D,A,B,C,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,练 习,第二课时应用,回顾：圆周角定理及推论？,思考：判断正误：,1.,同弧或等弧所对的圆周角相等（）,2.,相等的圆周角所对的弧相等（）,3.90,角所对的弦是直径（）,4.,直径所对的角等于,90,（,）,5.,长等于半径的弦所对的圆周角等于,30,（,）,例,如图，,O,直径,AB,为,10,cm,，弦,AC,为,6,cm,，,ACB,的平分线交,O,于,D,，求,BC,、,AD,、,BD,的长,又在,Rt,ABD,中，,AD,2,+,BD,2,=AB,2,，,解：,AB,是直径，,ACB,=,ADB,=90,在,Rt,ABC,中，,CD,平分,ACB,，,AD=BD,.,例题,3.,求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆,.,）,A,B,C,O,求证：,ABC,为直角三角形,.,证明：,CO=AB,以,AB,为直径作,O,，,AO=BO,，,AO=BO=CO.,点,C,在,O,上,.,又,AB,为直径,ACB,=180=90.,已知：,ABC,中，,CO,为,AB,边上的中线，,且,CO=AB,ABC,为直角三角形,.,课本练 习,课堂练习,1.,如图，,OA,、,OB,、,OC,都是,O,的半径，,AOB=2BOC,，,ACB,与,BAC,的大小有什么关系？为什么？,2.,如图，,A,、,B,、,C,、,D,是,O,上的四个点，且,BCD=100,，求,BOD,（所对的圆心角）,和,BAD,的大小。,探究,3,、如图，,AB,是,O,的直径，,BD,是,O,的弦，延长,BD,到点,C,，使,DC=BD,，连接,AC,交,O,于点,F,，点,F,不与点,A,重合。,（,1,）,AB,与,AC,的大小有什么关系？为什么？,（,2,）按角的大小分类，请你判断,ABC,属于哪一类三角形，并说明理由。,A,C,B,D,F,O,ABC,是锐角三角形,解：（,1,）,AB=AC,。,证明：连接,AD,又,DC=BD,，,AB=AC,。,（,2,）,ABC,是锐角三角形。,由（,1,）知，,B=C,90,连接,BF,，则,AFB=90,，,A,90,AB,是直径，,ADB=90,，,拓展练习,如图,点,P,是,O,外一点,点,A,、,B,、,Q,是,O,上的点。（,1,）求证,P,AQB,（,2,）如果点,P,在,O,内，,P,与,AQB,有怎样的关系？为什么？,