资源描述
-,*,-,3,.2.2.2,抛物线的简单性质习题课,1,.,掌握直线与抛物线的位置关系,.,2,.,能够解决与抛物线有关的基本问题,.,1,.,直线与抛物线的位置关系,直线与抛物线有三种位置关系,:,相离、相切、相交,.,(1),斜率存在时,设直线,y=kx+m,与抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),相交于,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),两点,将,y=kx+m,代入,y,2,=,2,px,消去,y,并化简,得,k,2,x,2,+,2(,mk-p,),x+m,2,=,0,.,当,k=,0,时,直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线只有一个公共点,但不能称为相切,;,当,k,0,时,判别式,0,直线与抛物线相交,有两个公共点,;,判别式,=,0,直线与抛物线相切,有且只有一个公共点,;,判别式,0),.,显然,当,m,0,时,直线与抛物线相交,有两个交点,.,说明,:(1),直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件,.,(2),直线,y=kx+b,(,k,0),与抛物线相交所得弦,AB,的长度计算公式与椭圆的弦长公式相同,即,(3),在直线与抛物线的位置关系问题中经常遇到中点弦的问题,处理的基本方法是利用点差法或根与系数的关系快速地求出中点弦所在直线的斜率,.,【做一做,1,】,与直线,2,x-y+,4,=,0,平行的抛物线,y=x,2,的切线方程为,(,),A.2,x-y+,3,=,0B.2,x-y-,3,=,0,C.2,x-y+,1,=,0D.2,x-y-,1,=,0,解析,:,设与直线,2,x-y+,4,=,0,平行的直线为,2,x-y+m=,0,联立,y=x,2,得,x,2,-,2,x-m=,0,.,由,=,4,+,4,m=,0,得,m=-,1,所求切线方程为,2,x-y-,1,=,0,.,答案,:,D,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,1,】,已知直线,l,:,y=kx+,1,和抛物线,C,:,y,2,=,4,x,试讨论直线,l,与抛物线,C,的公共点的个数,.,分析,:,本题主要考查直线与抛物线的位置关系,可将直线,l,:,y=kx+,1,和抛物线,C,:,y,2,=,4,x,联立组成方程组,消元得到关于,x,的一元二次方程,再根据判别式确定,k,的取值范围,考虑到抛物线的特殊性,一些特殊情形还要根据图形来分析说明,.,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,将直线,l,和抛物线,C,的方程联立,得,消去,y,得,k,2,x,2,+,(2,k-,4),x+,1,=,0,.,(,*,),当,k=,0,时,方程,(,*,),只有一个解,x=,14,直线,l,与抛物线,C,有一个公共点,此时直线,l,与抛物线,C,相交,.,当,k,0,时,方程,(,*,),是关于,x,的一元二次方程,=,(2,k-,4),2,-,4,k,2,.,(1),当,0,即,(2,k-,4),2,-,4,k,2,0,时,解得,k,1,且,k,0,直线,l,与抛物线,C,有两个公共点,此时直线,l,与抛物线,C,相交,;,(2),当,=,0,即,(2,k-,4),2,-,4,k,2,=,0,时,解得,k=,1,直线,l,与抛物线,C,有一个公共点,此时直线,l,与抛物线,C,相切,;,题型一,题型二,题型三,题型四,(3),当,0,即,(2,k-,4),2,-,4,k,2,1,直线,l,与抛物线,C,没有公共点,此时直线,l,与抛物线,C,相离,.,综上所述,当,k=,1,或,k=,0,时,直线,l,与抛物线,C,有一个公共点,;,当,k,1,时,直线,l,与抛物线,C,没有公共点,.,反思,直线与抛物线的位置关系,主要用代数法,联立方程组,利用,判断,注意二次项系数为零的情况,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,2,】,在抛物线,y,2,=,2,x,上求一点,P,使,P,到直线,x-y+,3,=,0,的距离最短,并求出距离的最小值,.,分析,:,思路一,:,设出抛物线上的点,P,(,x,0,y,0,),利用点到直线的距离公式转化为求二次函数的最值,.,思路二,:,平移直线至与抛物线相切的位置,将点线距转化成线线距,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,处理抛物线的最值常用方法,:(1),代数法,:,转化为二次函数求最值,;(2),几何法,:,转化为相切,运算量小,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,3,】,已知,A,B,是抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),上的两点,且满足,OA,OB,(,O,为坐标原点,),.,(1),求证,:,A,B,两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值,;,(2),求证,:,直线,AB,经过一个定点,.,分析,:(1),由,OA,OB,得,k,OA,k,OB,=-,1,从而可以证明结论,.,(2),用,A,B,的纵,(,横,),坐标表示出直线,AB,的方程即可证明,.,OA,OB,x,1,x,2,+y,1,y,2,=,0,x,1,x,2,=-y,1,y,2,.,y,1,y,2,=-,4,p,2,为定值,.,从而,x,1,x,2,=-y,1,y,2,=,4,p,2,也为定值,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,在抛物线的综合性问题中,存在着许多定点、定值问题,我们不需要记忆这些定值的结论,但要掌握这些定值问题的基本研究方法,如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用等,.,处理直线过定点问题,常将直线方程转化为只含有一个参变量的方程,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,3,】,过抛物线,y,2,=x,上一点,A,(4,2),作倾斜角互补的两条直线,AB,AC,交抛物线于,B,C,两点,如图所示,求证,:,直线,BC,的斜率是定值,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析,:,本题造成错解的原因有两个,:,一个是遗漏了直线斜率不存在的情况,只考虑了斜率存在的直线,;,二是方程组消元后的方程被认定为二次方程,事实上,当二次项系数为零时,一元方程的解也符合题意,.,题型一,题型二,题型三,题型四,1 2 3 4 5,1.,若,抛物线的顶点在原点,对称轴为,x,轴,焦点在直线,3,x-,4,y-,12,=,0,上,则抛物线的方程是,(,),A.,y,2,=-,16,x,B.,y,2,=,12,x,C.,y,2,=,16,x,D.,y,2,=-,12,x,解析,:,令,y=,0,得,x=,4,故抛物线方程为,y,2,=,16,x.,答案,:,C,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,5.,如图,过抛物线,y,2,=-,4,x,的焦点,作倾斜角为,120,的直线,交抛物线于,A,B,两点,O,为坐标原点,求,OAB,的面积,.,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,
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