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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,分类讨论思想,一,.,数学思想方法的三个层次,:,数学思想和方法,数学一般方法,逻辑学中的方法,(,或思维方法,),数学思想方法,配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等,分析法、综合法、归纳法、反证法等,函数和方程思想、,分类讨论思想,、数形结合思想、化归思想等,分类讨论思想,分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。,分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。,分类讨论思想,分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。,分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。,一,.,与概念有关的分类,1.,一次函数,y=,kx+b,的自变量的取值范围是,-3x 6,，,相应的函数值的取值范围是,-5y-2,，,则这个函数的解析式,。,-5=-3k+b,-2=6k+b,-5=6k+b,-2=-3k+b,解析式为,Y=x-4,或,y=-x-3,2.,函数,y=ax,2,-ax+3x+1,与,x,轴只有一个交点，求,a,的值与交点坐标。,当,a=0,时,为一次函数,y=3x+1,交点为（,-,，,0,）；,当,a,不为,0,时,为二次函数,y=ax,2,+(3-a)x+1,=a,2,-10a+9=0.,解得,a=1,或,a=9,交点为（,-1,，,0,）或（，,0,）,二,.,图形位置的分类,如图，线段,OD,的一个端点,O,在直线,a,上，以,OD,为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线,a,上，这样的等腰三角形能画多少个,?,150,a,探索题1:,探索题:,在下图三角形的边上找出一点，使得该点与,三角形的两顶点构成,等腰三角形,！,B,A,C,50,110,20,1,、对,A,进行讨论,2,、对,B,进行讨论,3,、对,C,进行讨论,C,A,B,A,C,B,20,20,20,20,C,A,B,50,50,C,A,B,80,80,20,C,A,B,65,65,50,C,A,B,35,35,110,（分类讨论）,B,A,C,50,110,20,3.,如图，直线,AB,经过圆,O,的圆心，与圆,O,交于,A,、,B,两点，点,C,在,O,上，且,AOC=30,0,，,点,P,是直线,AB,上的一个动点（与点,O,不重合），直线,PC,与圆,O,相交于点,Q,，,问点,P,在直线,AB,的什么位置时，,QP=QO,？,这样的点,P,有几个？并相应地求出,OCP,的度数。,A,B,C,P,O,Q,解：,OQ=OC,，,OQ=QP OQC=OCQ,，,QOP=QPO,设,OCP=x,0,则有：,（,2,）如果点,P,在线段,OB,上，显然有,PQ,OQ,，,所以点,P,不可能在线段,OB,上。,（,1,）如上图，当点,P,在线段,OA,上时，,OQC=OCP=x,QPO=,（,180,0,OQP,）,=,（,180,0,x),又,QPO=OCP+COP,，,(180,0,x)=x+30,0,解得,x=40,0,即,OCP=40,0,O,Q,C,P,B,A,Q,P,O,C,B,A,（,3,）如图，当点在的延长线上时，,OQC=OCQ=180,0,，,OPQ=,（,180,0,x)=x.,又,QCO=CPO+COP,，,180,0,x=x+30,0,解得,x=100,0,即,OCP=100,0,（,4,）如图当在的延长线上时，,OQC=OCQ=x,OQC=QPO+QOP,QPO=OQC=x,又,COA=OCP+CPO,解方程,30=x+x,得到,x=20,0,即,OCP=20,0,C,B,A,4,在半径为,1,的圆,O,中，弦,AB,、,AC,的长分别是 、,，,则,BAC,的度数是,。,5,ABC,是半径为,2cm,的圆的内接三角形，,若,BC=2 cm,则角,A,的度数是,。,C,A,B,C,C,B,A,6,在,ABC,中，,C=90,0,，,AC=3,，,BC=4,。,若以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，则,R,的值为多少？,A,C,B,B,A,C,C,B,A,7.,半径为,R,的两个等圆外切，则半径为,2R,且和这两个圆都相切的圆有几个？,8,、,在一张长为,9,厘米，宽为,8,厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为,5,厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积？,图1,图2,图3,解：分三种情况计算：,当,AE=AF=5,厘米时（图一）,当,AE=EF=5,厘米时（图,2,）,当,AE=EF=5,厘米时（图,3,）,三,.,与相似三角形有关的分类,9.,在矩形,ABCD,中，,AB=12cm,，,BC=6cm,，点,P,沿,AB,边从点,A,出发向,B,以,2cm,秒的速度移动,;,点,Q,沿,DA,边从点,D,开始向,A,以,1cm/,秒的速度移动。如果,P,、,Q,同时出发，用,t,秒表示移动的时间（,0,x,6,）,那么：,（,1,）当,t,为何值时，,QAP,为等腰直角三角形？,（,2,）求四边形,QAPC,的面积；,提出一个与计算结果有关的结论；,（,3,）当,t,为何值时，以点,Q,、,A,、,P,为顶点的三角形与,ABC,相似？,Q,P,A,D,C,B,解：对于任何时刻,t,，,AP=2t,DQ=t,QA=6,，当,=AP,时，,QAP,为等腰直 角三角形，即,6,t=2t,解得,t=2,（,秒）,（,3,）根据题意，可分为两种情况来研究,在矩形,ABCD,中：,当,=,时，,QAPABC,，,则,=,，,解得,t=1.2,秒。所以当,t=1.2,秒时，,QAPABC,。,当,=,时，,PAQABC,，,则,=,，,解得,t=3,（,秒）。所以当,t=3,秒时，,PAQABC,。,（,2,）在,QAC,中，,S=QADC=,（,6,t)12=36,在,APC,中，,S=APBC=,QAPC,的面积,S=,（,6t)+6t=36(cm,2,),由计算结果发现：在,P,、,Q,两点移动的过程中，,四边形,QAPC,的面积始终保持不变。,Q,P,A,D,C,B,10,。已知二次函数,的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点,直线（,）与轴交于点。,（）求、三点的坐标；,（）在直线（,）上有一点（点在第一象限），使得以、为顶点的三角形与以、为顶点的三角形相似，求点的坐标。,解,（,1,）,A,（,1,，,0,），,B,（,1,，,0,），,C,（，,2,）,当,PDB COB,时，,有,P,（,m,2m,2,）,；,(2),当,PDB,BOC,时，,=,有（，）,P,11.,如图所示，在直角梯形,ABCD,中，,AD/BC,，,AD=21,。动点,P,从点,D,出发，沿射线,DA,的方向以每秒,2,个单位长的速度运动，动点,Q,从点,C,出发，在线段,CB,上以每秒,1,个单位长的速度向点,B,运动，点,P,，,Q,分别从点,D,，,C,同时出发，当点,Q,运动到点,B,时，点,P,随之停止运动。设运动的时间为（秒）。（,1,）设,BPQ,的面积为,S,，求,S,与,t,之间的函数关系式；,（,2,）当线段,PQ,与线段,AB,相交于点,O,，且,BO=2AO,时，求,（,3,）当,t,为何值时，以,B,、,P,、,Q,三点为顶点的三角形是等腰三角形？,的正切值；,(4),是否存在时刻,t,，使得,PQBD,？若存在，求出,t,的值；若不存在，请说明理由。,解：（,1,）如图,1,所示，过点,P,作，,垂足为,M,，则四边形,PDCM,为矩形。,（,2,）如图,2,所示，由,得：,图,图,图,1,
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