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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,23,章,图形的相似,23.3,相似三角形,第,5,课时,1.掌握相似三角形的应用；重点,2.进一步了解数学建模思想，提高分析问题、解决问题的能,力.难点,学习目标,问题,1,判定两三角形相似的方法有哪些？,问题,2,相似三角形的性质有哪些？,观察与思考,乐山大佛,世界上最高的树,红杉,台湾最高的楼,台北,101,大楼,怎样测量这些非常高大物体的高度？,世界上最宽的河,亚马逊河,怎样测量河宽？,利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题,.,据史料记载，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆,.,借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度,.,如图,，,如果木杆,EF,长,2,m,，它的影长,FD,为,3,m,，测,OA,长为,201,m,，求金字塔的高度,BO,.,利用相似三角形测量高度,一,解：太阳光是平行的光线,，,因此,BAO,=,EDF,.,因此金字塔的高为,134m.,如图,，,如果木杆,EF,长,2m,，,它的影长,FD,为,3m,，,测,OA,长为,201m,，,求金字塔的高度,BO,.,又,AOB,=,DFE,=90,，,ABO,DEF,.,A,F,E,B,O,还可以有其他方法测量吗？,OB,EF,=,OA,AF,ABO,AEF,OB=,OA EF,AF,平面镜,如图,，,为了估算河的宽度,，,我们可以在河对岸选定一个目标点,P,，,在河的这一边取点,Q,和,S,，,使点,P,、,Q,、,S,共线且直线,PS,与河垂直,，,接着在过点,S,且与,PS,垂直的直线,a,上选择适当的点,T,，,确定,PT,与过点,Q,且垂直,PS,的直线,b,的交点为,R,.,如果测得,QS,=45m，,ST,=90m，,QR,=60m，,求河的宽度,PQ,.,利用相似三角形测量宽度,二,因此河宽大约为,90m.,测距的方法,测量不能到达两点间的距离,，,常,构造相似三角形,求解,.,方法归纳,例：左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点?,典例精析,分析,:,如图,，,设观察者眼睛的位置,(,视点,),为点,F,(,EF,近似为人的身高,)，,画出观察者的水平视线,FG,，,它交,AB,、,CD,于点,H,、,K.,视线,FA,、,FG,的夹角,AFH,是观察点,A,的,仰角,.,能看到,C,点类似地,，,CFK,是观察点,C,时的仰角,，,由于树的遮挡,，,区域和都在观察者看不到的区域,(,盲区,),之内,.,再往前走就根本看不到,C,点了,.,解：,如图，假设观察者从左向右走到点,E,时，他的眼睛的位置点,F,与两棵树的顶端点,A、C,恰在一条直线上,由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离,小于,8m,时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点,C,在观察者的盲区之内，观察者看不到它,1.,铁道口的栏杆短臂长,1m，,长臂长,16m，,当短臂端点下降,0.5m,时,，,长臂端点升高,_m,.,8,O,B,D,C,A,1m,16m,0.5m,？,2.某一时刻树的影长为8米，同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米，那么树高为_米.,4,当堂练习,120,BC,=,解：设正方形,PQMN,是符合要求的,ABC,的高,AD,与,PN,相交于点,E,.,设正方形,PQMN,的边长为,x,毫米,.,因为,PNBC,，,所以,APN,ABC,所以,.,3.,ABC,是一块锐角三角形余料，边,BC,=120,毫米，高,AD,=80,毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在,BC,上，其余两个顶点分别在,AB,、,AC,上，这个正方形零件的边长是多少？,N,M,Q,P,E,D,C,B,A,AE,AD,PN,因此 ，得 x=48毫米.,80,x,80,=,x,1.,相似三角形的应用主要有两个方面：,1测高,测量不能到达两点间的距离,，,常构造相似三角形求解.,不能直接使用皮尺或刻度尺测量,不能直接测量的两点间的距离,测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例的原理解决.,2测距,课堂小结,学习目标,1.利用菱形特有性质对角线互相垂直来判定平行四边形是否为菱形；重点,2.菱形的性质与判定的综合运用.难点,问题：,上一课我们学习的菱形的判定方法有哪些？,导入新课,1.,定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,.,2.,定理：四边相等的四边形是菱形,.,复习引入,菱形的特有性质：对角线互相垂直平分,对角线互相垂直平分的四边形是菱形,.,能否判定？,思考：还有其他的判定方法吗？,做一做：,先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形,.,(1),(2),(3),(4),你能说说这样做的道理吗,?,前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜测？,猜测：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,你能证明这一猜测吗？,讲授新课,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,作一条两条对角线互相垂直的平行四边形,.,步骤,:,1.,作两条互相垂直的直线,m,、,n,记交点为点,O;,2.,以点,O,为圆心、适当长为半径画弧，,在直线,m,，,n,上分别截取相等的,两组线段,OA,、,OC,和,OB,、,OD,；,3.,连接,A,、,B,、,C,、,D,四点，显然，,它是一个对角线互相垂直的平行四边形,.,n,m,D,C,B,A,画图探究,思考：所画平行四边形是菱形吗？,O,A,B,C,O,D,：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O，ACBD.,求证：ABCD是菱形.,证明：四边形ABCD是平行四边形.,OA=OC.,又ACBD,BD是线段AC的垂直平分线.,BA=BC.,四边形ABCD是菱形菱形的定义.,证一证,对角线互相垂直的平行四边形,是菱形,AC,BD,几何语言描述：,在,ABCD,中，,AC,BD,ABCD,是菱形,.,A,B,C,D,菱形,ABCD,A,B,C,D,ABCD,平行四边形的判定定理,2,：,归纳总结,思考与动手:,1.在一张纸上用尺规作图作出边长为10cm的菱形;,2.想方法用一张长方形纸剪出一个菱形;,3.利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？,请向同学们展示你的作品,全班交流.,例,1,如图，,ABCD,的两条对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,AB,=5,，,AO,=4,，,BO,=3.,求证：四边形,ABCD,是菱形,.,A,B,C,D,O,平行四边形,ABCD,是菱形,.,OA,=4,OB,=3,AB,=5,，,证明：,即,AC,BD,，,AB,2,=,OA,2,+,OB,2,，,AOB,是直角三角形，,例,2,如图,矩形,ABCD,的对角线,AC,的垂直平分线与边,AD,、,BC,分别交于点,E,、,F,求证：四边形,AFCE,是菱形,A,B,C,D,E,F,O,1,2,证明,:,四边形,ABCD,是矩形,AEFC,，,1=2,.,EF,垂直平分,AC,，,AO,=,OC,.,又,AOE,=,COF,，,AOE,COF,，,EO,=,FO,.,四边形,AFCE,是平行四边形,.,又,EF,AC,四边形,AFCE,是菱形,.,练一练,在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，假设添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，那么这个条件可以是 ,AABC=90,BACBD,CAB=CD,DABCD,B,例,3,如图，在,ABC,中，,DE,BC,，且2,DE,BC,，,BE,2,DE,，延长,DE,到点,F,，使得,EF,BE,，连接,CF,.,(1)求证：四边形,BCFE,是菱形；,(1)证明：,DE,BC,，且2,DE,BC,，,又,BE,2,DE,，,EF,BE,，,EF,BC,，,EF,BC,，,四边形,BCFE,是平行四边形,又,EF,BE,，,四边形,BCFE,是菱形；,菱形的性质与判定的综合运用,(2)解：,BCF,120，,EBC,60，,EBC,是等边三角形，,菱形的边长为4，高为 ，,菱形的面积为 .,(2)假设CE4，BCF120，求菱形BCFE的面积,判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形,归纳,练一练,如图，在平行四边形,ABCD,中，,AC,平分,DAB,，,AB,=2，求平行四边形,ABCD,的周长,.,解：四边形,ABCD,为平行四边形，,DAC,=,ACB,，,BAC,=,ACD,，,AC,平分,DAB,，,DAC,=,BAC,，,DAC,=,ACD,，,AD,=,DC,，,四边形,ABCD,为菱形，,四边形,ABCD,的周长=42=8,当堂练习,1.判断以下说法是否正确,(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；,(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；,(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的,四边形是菱形；,(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组,对角的四边形是菱形,2.,一边长为,5cm,的平行四边形的两条对角,线的长分别为,24cm,和,26cm,，那么平行四边形的面积是,.,312cm,2,A,B,C,D,O,E,3.,如图，矩形,ABCD,的对角线相交于点,O,，,DEAC,CE BD,.,求证：四边形,OCED,是菱形,.,证明：,DEAC,，,CEBD,，,四边形,OCED,是平行四边形,.,四边形,ABCD,是矩形，,OC,=,OD,，,四边形,OCED,是菱形,4.,如图，在,平行四边形,ABCD,中，,AC=,6，,BD,=8，,AD,=5.求,AB,的长.,解,:,四边形,ABCD,为平行四边形，,DAO,是直角三角形,.,DOA,=90,，即,DB,AC.,平行四边形ABCD是菱形.,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,又,AD=,5,，满足,AB=AD=,5,.,证明：MN是AC的垂直平分线，,AE=CE，AD=CD，OA=OC，,AOD=EOC=90.,CEAB，,DAO=ECO，,ADOCEOASA,AD=CE，OD=OE，,OD=OE，OA=OC，,四边形ADCE是平行四边形,又AOD=90，四边形ADCE是菱形,5.,如图，,ABC,中，,AC,的垂直平分线,MN,交,AB,于点,D,，交,AC,于点,O,，,CEAB,交,MN,于点,E,，连接,AE,、,CD,.,求证：四边形,ADCE,是菱形,.,B,C,A,D,O,E,M,N,
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