矩阵的秩与初等变换课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,1,节 矩阵的秩与初等变换,一 矩阵的秩,定义：,若矩阵 A 中存在一个不等于 0 的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于 0，那么数 r 就称为矩阵 A 的,秩,，记作 R(A)，并称 D 为矩阵 A 的一个,最高阶非零子式,。并规定零矩阵的秩等于 0。,显然，若 A 为 m,n 矩阵，则,0,R(A),min m,n。,由于|A,T,|=|A|,即行列式与其转置行列式相等，从而有,R(A,T,)=R(A)。,对于 n 阶矩阵 A，当,|A|,0 时 R(A)=n，,|A|=0 时 R(A)n。,当 R(A)=r时，即 A 中所有的 r+1 阶子式全等于 0，则A中所有高于 r+1 阶的子式=？,这些子式必定为0，从而 A 的秩 R(A)就是 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。,由于 R(A)是 A 的非零子式的最高阶数。因此，若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 R(A),s；若 A 中所有 t 阶子式全为0，则 R(A)t。,例,：求矩阵,A,和,B,的秩，,解,：,R(A)=2;,R(B)=3,即行阶梯形矩阵,B,的秩等于,B,的非,0,行的行数,本例表明，对于一般的行列式，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的。,然而对于类似矩阵,B,的行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。,行阶梯形矩阵,：,行阶梯形矩阵特点：若第,i,行元素全为,0,，则,i+1,m,行的元素全为,0,；否则从左数找到第一个不为,0,的元素，位于该元素下及其左下的所有元素全为,0,。,若阶梯形矩阵每行第一个非,0,数字恰为,1,，且该数字,1,上方的数字也为,0,的话，则称为,行最简形矩阵,。比如第二个矩阵即为行最简形矩阵。,注意行阶梯形矩阵与上三角矩阵的关系。,二 初等变换与矩阵秩的求法,定义,下面三种变换称为矩阵的,初等行变换,：,(i),对调两行,(,对调,i,j,两行，记作,),；,(ii),以数,k0,乘某一行中的所有元素,(,第,i,行乘,k,记作,r,i,k),；,(iii),把某一行所有元素的,k,倍加到另一行对应的元素上去,(,第,j,行的,k,倍加到第,i,行上，记作,),。,把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的,初等列变换,的定义,(,所用记号是把“,r”,换成“,c”),。,矩阵的初等行变换与初等列变换，统称,初等变换,。,定义,：如果矩阵,A,经过有限次初等行变换变成矩阵,B,，就称矩阵,A,与,B,行等价,，记作 ；,如果矩阵,A,经过有限次初等列变换变成矩阵,B,，就称矩阵,A,与,B,列等价,，记作 ；,如果矩阵,A,经过有限次初等变换变成矩阵,B,，就称矩阵,A,与,B,等价,，记作 。,定理,：任意一个矩阵可经过一系列,初等行变换,化为与之行等价的行阶梯形与行最简形矩阵。,证明,：由于只需对行阶梯形矩阵中的非零行乘以特定的非,0,常数，即可变成行最简形。因此只需证初等行变换可化矩阵为行阶梯形即可。,设,对第一列的元素,a,11,a,21,a,s1,，只要其中一个不为零，用交换两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，然后从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数，于是第一列除去第一个元素外就全是零了。,即经过一系列初等行变换后，有,重复以上的作法。如果原来矩阵,A,中第一列的元素全为零，那么就依次考虑它的第二列元素，等等。,如此作下去直到变成行阶梯形为止。,上边的叙述可按归纳法给予严格的证明。,定理,：初等变换不改变矩阵的秩。,证明,：先证明若 A 经一次初等行变换变为 B，则 R(A),R(B);,设 R(A)=r，且 A 的某个 r 阶子式 D,0。,对交换两行与把某一行乘以非0常数k的初等变换，比如,在 B 中总能找到与D相对应的 r 阶子式 D,1,，且有,D,1,=D 或 D,1,=-D 或 D,1,=kD，,因此 D,1,0，从而 R(B),r=R(A)。,2)把某行的倍数加到另一行的初等变换。,由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立，故只需证明把第二行的某个倍数加到第一行时，秩不减即可。,分两种情形。,A 的 r 阶非零子式 D 不包含 A 的第一行，这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式，故 R(B),r；,D 包含 A 的第1行，这时把 B 中与 D 对应的 r 阶子式 D,1,记作,从而有,R(B)r=R(A),。,以上证明了矩阵,A,经一次初等行变换化为,B,后秩不减，即,R(A)R(B).,又注意到 B 亦可经由一次初等行变换变为 A，故,R(B),R(A)，,因此经一次初等行变换后 R(A)=R(B)。,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩不变。,设 A 经初等列变换变为 B，则 A,T,经初等行变换变为 B,T,，由行初等变换不改变秩的事实知，,R(A,T,)=R(B,T,)，,又 R(A)=R(A,T,),R(B)=R(B,T,)，因此 R(A)=R(B)。,总之，若 A 经过有限次初等变换化为 B，则秩不变，即,R(B)=R(A)。,例：求矩阵,A,的秩：,A =,R(A)=4.,矩阵的标准形,对于m,n 矩阵 A，总可经过初等变换化成如下形式,该形式称为 A 的,标准形,。其中 r=R(A).,例,：化矩阵,B,为标准形,，,在矩阵的初等变换中，,一般很少将其化为标准形,，而是化为与之等价的,行阶梯形,或,行最简形矩阵,.,