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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,根据半空间体在边界上受法向分布力中有关知识，可导出两弹性体之间的接触压力以及由此所引起的应力和变形，下面我们先对两弹性球体进行讨论。,设两个球体半径分别为,R,1,和,R,2,如图。,一.,两球体的接触问题,设开始时两球体不受压力作用，它仅接触于一点,O,，,那么此时，在两球体表面上取距公共法线距离为,r,的,M,1,和,M,2,两点，与,O,点的切平面之间的距离,z,1,和,z,2,.,则由几何关系有：,(,R,1,z,1,),2,+,r,2,=,R,1,2,(,R,2,z,2,),2,+,r,2,=,R,2,2,得,（,a）,当,M,1,M,2,离,O,点很近时，则,z,1,R,1,z,2,R,2,，,上面两式可化为：,而,M,1,、,M,2,两点之间的距离为：,当两球体沿接触点的公共法线用力,F,相压时，在接触点的附近，将产生局部变形而形成一个圆形的接触面。由于接触面边界的半径总是远小于,R,1,、,R,2,，,所以可以采用关于半无限体的结果来讨论这种局部变形。,现分别用,w,1,和,w,2,表示,M,1,点沿,z,1,方向的位移及,M,2,点沿,z,2,方向的位移（即相外的相对移动）；,(,w,1,+,w,2,)=,z,1,+,z,2,设,为圆心,O,1,、,O,2,因压缩而相互接近的距离，如果,M,1,与,O,1,、,M,2,与,O,2,之间无相对移动则,M,1,与,M,2,、,之间接近的距离也为,；,于是,M,1,点和,M,2,点之间的距离减少为,(,w,1,+,w,2,)，,如果点,M,1,、,M,2,由于局部变形而成为接触面内的同一点,M,，,则由几何关系有：,将式（,a）,代入，得,w,1,+,w,2,=,r,2,(b),其中，,（,c）,根据对称性接触面一定是以接触点,O,为中心的圆。现以图中的圆表示接触面，而,M,点表示下面的球体在接触面上的一点（即变形以前的点,M,1,），,则按照弹性半空间受垂直压力,q,的解答，该点的位移为：,其中,1,及,E,1,为下面球体的弹性常数，而积分应包括整个接触面。对于上面的球体，也可以写出相似的表达式，于是：,（,d）,其中,并由（,d）,式及(,c),式得,（,e）,到此，把问题归结为去寻求未知函数,q,（,即要找出压力的分布规律），使式（,e）,得到满足。,根据,Hertz,的假设，如果在接触面的边界上作半圆球面，而用它在各个点的高度代表压力,q,各该点处的大小。,例如弦,mn,上一点压力的大小，可用过,mn,所作半圆的高度,h,来代表。,接触圆内任一点的压力，应等于半球面在该点的高度,h,和,k,=,q,0,/,a,的乘积。由此，不难从图可以看出，,令,q,0,表示接触圆中心,O,的压力，则根据上述假定，应有,q,0,=,ka,由此得：,k,=,q,0,/,a,k,这个常数因子表示压力分布的比例尺。,A,为弦,mn,上的半圆（用虚线表示）面的面积，即,由于,代入后再代入式（,e）,积分后得：,，,d,有,要使此式对所有的,r,都成立，等号两边的常数项和,r,2,的系数分别相等，于是有,这样，只要式（,g）,成立，,Hertz,所假定的接触面上压力分布是正确的。根据平衡条件，上述半球体的体积与的乘积应等于总压力,F,，,即,(,g),由此的最大压力,（,h）,它等于平均压力,F,/,a,2,的一倍半。,将式（,c）,和式（,h）,代入式（,g），,求解,a,及,即得：,由此并可求得最大接触压力为；,在,E,1,=,E,2,=,E,及,1,=,2,=0.3,时，由上列各式得出工程实践中广泛采用的公式：,在求出接触面间的压力之后，可利用,按照弹性半空间受垂直压力,q,的解答,导出的公式计算出两球体中的应力。,最大压应力发生在接触面中心，值为,q,0,；,最大剪应力发生在公共法线上距接触中心约为0.47,a,处，其值为0.31,q,0,；,最大拉应力发生在接触面的边界上，其值为0,.133,q,0,。,二.,圆球与平面（或凹球面）的接触,利用上面关于两弹性球体接触时的有关结论，可得如下公式：,当圆球与平面接触时，将以上结果中的,R,1,=,R,0,R,2,则得：,F,在,E,1,=,E,2,=,E,及,1,=,2,=0.3,时，,F,当圆球与凹球面接触时，将以,R,1,代替两圆球接触时公式中的,R,1,，,则可得：,F,在,E,1,=,E,2,=,E,及,1,=,2,=0.3,时，,F,三,例题,直径为10,mm,的钢球与,a),直径为100,mm,的钢球；,b),钢平面；,c),半径为50,mm,的凹球面相接触，,其间的压紧力,P,=10N，,试球接触圆的半径,a,两球中心相对位移,和最大接触应力,q,0 .,(,E,=2.110,5,N/mm,2,=0.3,）,。,解:,a),直径为10,mm,的钢球与,直径为100,mm,的钢球；,=0.067,mm,=9.810,-4,mm,=1080,N/mm,F,=0.069,mm,=9.510,-4,mm,=1010,N/mm,(b),直径为10,mm,的钢球与钢,平面,；,F,=9.810,-4,mm,=940,N/mm,=0.071,mm,(c),直径为10,mm,的钢球与半径为50,mm,的凹球面相接触；,F,
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