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1.2.1,任意角的三角函数,(,二,),有向线段及三角函数线,1.,有向线段,(1),定义,:,带有,_,的线段,.,(2),表示,:,用大写字母表示起点、终点,如有向线段,OM,MP.,方向,2.,三角函数线,MP,OM,AT,判断：,(,正确的打,“,”,，错误的打,“,”,),(1),三角函数线的长度等于三角函数值,.(),(2),三角函数线的方向表示三角函数值的正负,.(),(3),若角,的正弦线的长度为,1,，则,sin=1.(),(4),若角,的余弦线的长度为,0,，则此时角,的终边在,x,轴上,.(),提示：,(1),错误,.,三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值,.,(2),正确,.,凡是与,x,轴或,y,轴正向同向的为正值，反向的为负值,.,(3),错误,.,没有指明正弦线的方向，故,sin=,1.,(4),错误,.,此时角,的终边在,y,轴上,.,答案：,(1),(2)(3),(4),【,知识点拨,】,对三角函数线的三点说明,(1),三角函数线的意义,正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示,凡与,x,轴或,y,轴正向同向的为正值,反向的为负值,.,三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来,使得问题更形象直观,为从几何途径解决问题提供了方便,.,(2),三角函数线的画法,定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时也给出了角,的三角函数线的画法,即先找到,P,M,T,点,再画出,MP,OM,AT.,(3),三角函数线的作用,三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小,同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础,.,类型 一,比较三角函数值的大小,【,典型例题,】,1.sin 1-cos 1_0(,填,“,”,或,“,”,).,2.,比较下列各组数的大小,.,【,解题探究,】,1.,的正弦线和余弦线的大小关系如何？,2.,比较三角函数值的大小应分几步？,探究提示：,1.,的正弦线和余弦线的大小相等,.,2.,分三步,.(1),角的位置要,“,对号入座,”,.(2),比较三角函数线,的有向线段的长度,.(3),确定有向线段的正负,.,【,解析,】,1.,因为 如图所示：,由三角函数线可得,sin 1,cos,1,，故,sin 1-cos 1,0.,答案：,2.(1),如图所示，在单位圆中作出 的余弦线,OM,2,和,OM,1,，,因为,OM,1,OM,2,，,所以,(2),如图所示，分别作出 的正弦线和正切线,.,因为,AT,MP,所以,【,拓展提升,】,三角函数线比较大小的注意点,(1),三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值,(2),比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向,【,变式训练,】,如图，已知角,的终边是,OP,，角,的终边是,OQ,，试利用,的三角函数线判断大小,.,(1)sin,_sin,.,(2)cos,_cos,.,(3)tan,_tan,.,【,解析,】,如图所示，,sin=MP,，,sin=NQ,，,MP,NQ,，,故,sin,sin,；,cos,=OM,，,cos,=ON,OM,ON,故,cos,cos,；,tan=AC,，,tan=AB,，,AC,AB,，故,tan,tan.,答案：,(1),(2),(3),类型 二,解不等式,【,典型例题,】,1.,解不等式 的解集为,_.,2.,求下列函数的定义域,.,【,解题探究,】,1.,正弦值等于 的角应是什么？,2.,如何应用三角函数线作,f(,)=m(-1m1),的三角函数中角,的终边？,探究提示：,1.,若,sin=,，则,2.(1),先作出直线,y=m,或,x=m,与单位圆的交点,.,(2),将原点与交点连接，所得射线即为所求角的终边,.,【,解析,】,1.,如图，作出正弦值等于,的角,x,的终边，则正弦值大于 的角,x,的终边与单位圆的交点在劣弧,上，所以所求角,x,的取值范围是,答案：,2.(1),因为,2cos x-10,所以 如图，,所以定义域为,(2),因为,3-4sin,2,x,0,所以 如图，,所以,所以,即定义域为,【,互动探究,】,若题,1,改为,“,求不等式 的解集,”,又如何,求解？,【,解析,】,如图，作出正弦值等于 的角,x,的终边，则正弦值小于或等于 的角,x,的,终边与单位圆的交点在优弧 上，所以,所求角,x,的取值范围是,答案：,【,拓展提升,】,解形如,f()m,或,f()m(|m,|,1),的三角不等式的方法,(1),在直角坐标系及单位圆中，标出满足,f(,)=m,的两个角的终边,(,若,f,为,sin,，则角的终边是直线,y=m,与单位圆的两个交点与原点的连线；若,f,为,cos,，则角的终边是直线,x=m,与单位圆的两个交点与原点的连线,.,(2),根据三角函数值的大小，找出,在,0,2,内的取值，再加上,k,2(kZ).,【,变式训练,】,若,0,2),，且 则,的取值范,围是,_,【,解析,】,如图，,OM,为,0,2),内的角 的余弦线，欲使 角,的余弦大于等于,OM,，当,OM,伸长时，,OP,与,OQ,扫过的部分为扇,形,POQ,，所以,答案：,类型 三,三角函数线的综合应用,【,典型例题,】,1.,若,是三角形的内角，且 则这个三角形,是,(),A.,等边三角形,B.,直角三角形,C.,锐角三角形,D.,钝角三角形,2.,若 证明,sin,tan.,【,解题探究,】,1.,当,是锐角时，,sin+cos,的值与,1,的,大小关系如何？若,是钝角呢？,2.,题,2,若利用三角函数线证明，角,的几何意义是什么？,探究提示：,1.,当,是锐角时,sin+cos,1,；当,是钝角时，,sin+cos,1.,2.,角,的几何意义是其所对应的圆弧长,.,【,解析,】,1.,选,D.,当 时，由单位圆中的三角函数线,知，,sin+cos 1,，而 所以,必为钝,角,2.,如图所示，连接,AP,，设,OAP,的面积为,S,1,，扇形,OAP,的面积,为,S,2,，,OAT,的面积为,S,，弧长,AP,为,l,，,因为,S,1,S,2,S,所以,又,OA=1,，故,MP,l,AT,，即,sin,tan.,【,拓展提升,】,1.,利用三角函数线证明不等式的步骤,(1),在直角坐标系中，利用单位圆，作出角,所需要的三角函数线,.,(2),根据图形，利用相关三角形及扇形的面积，构造不等关系,.,(3),利用三角函数的几何意义，即证得结论,2.,求解角的范围的方法,准确应用单位圆中的三角函数线来求解角的范围，熟记并充分应用以下几种情形：,【,变式训练,】,已知点,P(sin-cos,tan),在第一象限，,在,0,2,内,的取值范围为,_.,【,解析,】,由题意,如图，,由三角函数线可得,所以,答案：,【,易错误区,】,三角函数线的解题误区,【,典例,】,(2013,天水高一检测,),已知角,的余弦线是长度为,单位长度的有向线段，那么角,的终边在,(),A.x,轴的非负半轴上,B.x,轴的非正半轴上,C.x,轴上,D.y,轴上,【,解析,】,选,C.,由角,的余弦线是长度为单位长度的有向线段，,得,cos=,1,，故角,的终边在,x,轴上,.,【,误区警示,】,【,防范措施,】,1.,正确理解有向线段,有向线段是既有长度又有方向的，解题时要注意，如本例中长度为单位长度的有向线段应为,1.,2.,准确把握三角函数线,正确理解正弦线、余弦线和正切线，注意三者的区别，如本例中不要把正弦线和余弦线混淆,.,【,类题试解,】,已知角,的正切线是长度为单位长度的有向线,段，则角,的终边在直线,_,上,.,【,解析,】,由角,的正切线是长度为单位长度的有向线段，得,tan=,1,，故角,的终边在直线,y=x,或直线,y=-x,上,.,答案：,y=x,或,y=-x,1.,以下说法中正确的个数为,(),正弦线、余弦线、正切线，三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；正弦线由垂足指向,终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与,终边,(,或终边的反向延长线,),的交点,.,A.1 B.2 C.3 D.4,【,解析,】,选,D.,由正弦、余弦及正切的三角函数线定义知，均正确,.,2.,利用正弦线比较,sin 1,，,sin 1.2,，,sin 1.5,的大小关系,是,(),A.sin 1,sin 1.2,sin 1.5,B.sin 1,sin 1.5,sin 1.2,C.sin 1.5,sin 1.2,sin 1,D.sin 1.2,sin 1,sin 1.5,【,解析,】,选,C.,如图所示：,M,1,P,1,M,2,P,2,M,3,P,3,分别是,1,1.2,1.5,对应的正弦线，数形结合可知，,C,正确,.,3.,比较大小：,sin 1 155,_sin(-1 654,)(,填,“,”,或,“,”,).,【,解析,】,sin(3,360,+75,)=sin 75,sin(-5,360,+146,)=sin 146,在单,位圆中，分别作出,sin 75,和,sin 146,的正弦线,M,2,P,2,和,M,1,P,1,，如图：,因为,M,1,P,1,M,2,P,2,，所以,sin 1 155,sin(-1 654,).,答案：,4.,角,(0,2),的正弦线与余弦线的长度相等且符号相,同，则,的值为,_.,【,解析,】,由题意，,的终边在一、三象限的角平分线上，又,0,2,，故,的值为,答案：,5.,利用单位圆写出满足 且,(0,),的角,的集,合,【,解析,】,作出正弦线如图：,时，角,对应的正弦线变短，,所以,即,
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