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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3.2,边缘分布,联合分布,F,(,x,y,),（,X,Y,）,整体地看,局部地看,F,Y,(,y,),F,X,(,x,),X Y,二维联合分布,F,(,X,Y,),全面地反映了二维随机变量,(,X,Y,),的取值及其概率规律,.,问题：二者之间有什么关系吗,?,分别称为,(,X,Y,),关于,X,和,Y,的,边缘分布函数,但作为一维随机变量,X,Y,也有自己的分布函数,.,由联合分布可以确定边缘分布,由边缘分布一般不能确定联合分布,反之,?,转化为一维时的情形,点,表示,p,ij,对于该点所在位置的变量求和,一、离散型二维随机变量的,边缘分布律,二维离散型随机变量,(,X,Y,),的联合分布律为,(,X,Y,),关于,X,和关于,Y,的,边缘分布律,记住,!,例,1,X,1 2 3 4,1/4,0,0,0,1/8,1/8,0,0,1/12,1/12,1/12,0,1/16,1/16,1/16,1/16,Y,1,2,3,4,1/4,1/4,1/4,1/4,25/48,13/48,7/48,3/48,1,边缘分布律,?,为方便计算,我们通常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上,F,X,(,x,)=,F,(,x,+,),X,和,Y,的联合分布函数为,F,(,x,y,),则,(,X,Y,),关于,X,的,边缘分布函数,为,(,X,Y,),关于,Y,的,边缘分布函数,为,二、连续型二维随机变量的,边缘概率密度,(,X,Y,),关于,Y,的,边缘概率密度,为,则,(,X,Y,),关于,X,的,边缘概率密度,为,小结,联合,分布,函数,离散型,连续型,联合分布列,联合概率密度,边缘,分布,函数,离散型,连续型,边缘分布律,边缘概率密度,X,与,Y,的联合分布,(,X,Y,),关于,X,和,Y,的边缘分布,关于,X,的,关于,Y,的,关于,X,的,关于,Y,的,例,2,设,(,X,Y,),的概率密度是,解,求,边缘密度,.,分段函数积分应注意其表达式,y,x,0 1,y,=,x,y,=,x,2,在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分,.,当联合密度是,分段函数,时，在计算积分时应特别注意积分限,.,y,x,-,a,0,a,例,3,设,(,X,Y,),服从椭圆域 上的均匀分布,求,(,1,),求,(,X,Y,),的,边缘密度函数,解,(,1,),由题知,(,X,Y,),的概率密度为,同理可得,(,2,),(,2,),其中,A,为区域,:,X,与,Y,不服从均匀分布,二维均匀分布的两个,边缘密度未必是,均匀分布的,二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布,y,x,b,0,b,G,x,+,y,=,b,解,例,4,求,二维正态分布,的边缘密度,.,u,v,同理：,二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布,均与,无关,反之不成立,在事件,B,发生的条件下事件,A,发生的条件概率,设有两个随机变量,X,Y,，,这个分布就,是条件分布,随机变量,推广到,例如,考虑某大学的全体学生,则,X,和,Y,都是随机变量,它们都有一,定的概率分布,.,在第一章中，我们介绍了条件概率的概念,体重,X,身高,Y,从其中随机抽取一个学生，分别以,X,和,Y,表示其,体重和身高,.,在给定,Y,取某个,或某些值的条件下,求,X,的概率分布,.,3.3,二维随机变量的条件分布,在这个条件下去求,X,的条件分布,.,现在若限制,1.7,Y,0,，,有放回地连续摸两次,解,依题意有,例,1,一袋中装有两只白球,三只红球,所以,X,和,Y,的联合分布律,试求条件,X,=1,下随机变量,Y,的及,Y,=0,下,X,的,条件分布,.,设随机变量,X,Y,0 1,0,1,9/25 6/25,6/25 4/25,p,j,p,i,3/5 2/5,3/5,2/5,及边缘分布律为,Y,|,X,=1,0 1,p,k,3/5 2/5,条件,X,=1,下的,条件分布律为,先求,联合,分布列和边缘分布列,求二维离散型随机变量的条件分布律,需知,边缘分布,和,联合分布,.,如何求条件分布函数？,X,、,Y,的,条件分布律分别为,:,在已知,Y,=,y,j,下,X,的,条件分布函数为,:,在已知,X,=,x,i,下,Y,的条件分布函数为,:,类条概公式,设,(,X,Y,),的分布函数为,F,(,x,y,),概率密度为,f,(,x,y,),由于,x,y,P,X,=,x,=0,P,Y,=,y,=0,所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，,类似地,条件,X,=,x,下,Y,的条件分布函数为,定义,2,若极限,则,条件,Y,=,y,下,X,的,条件密度,为,二、连续型随机变量的条件分布,设,(,X,Y,),是,二维连续型随机变量,下面我们用极限工具给出条件概率密度的定义,:,存在，,则称它为,条件,Y,=,y,下,X,的条件分布函数,，,则其边缘密度函数,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),也,连续，,条件,X,=,x,下,Y,的,条件密度,为,记为,F,X,|,Y,(,x,|,y,),.,解,例,2,设,(,X,Y,),的概率密度为,同理,求条件概率密度,由类条概公式，,当,y,0,和,y,1,时，,0,x,y,y,=,x,y,=,x,2,应先求两个边缘密度,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),：,不存在,当,0,y,1,时，,同理,当,x,0,和,x,1,时，,当,0,x,1,时，,不存在,在,X=x,(,0,x,1,),.,解,(,1,),0,，其他,.,(,2,),求：,0,1,x,y,y,=,x,(,3,),P,(,X+Y,1,),已知边缘密度和条件密度,0,x,y,y,=,x,y,=,1,-,x,例,4,设,(,X,Y,),服从圆域,x,2,+,y,2,=,R,2,上的均匀分布，,求 及,解,(,X,Y,),关于,X,的边缘密度为,X,已知下,Y,的条件密度,是,y,的取值范围,X,作为已知变量,(,X,Y,),的联合分布服从均匀分布,边缘分布服从均匀分布,条件分布仍为均匀分布,如,y,=0,时的图形为,-,R,0,R x,f,X,Y,(,x,|,y,),恰为,y,取值区间的长度,都服从均匀分布,恰为,x,取值区间的长度,当,|,x,|,R,时,当,|y,|,R,时,1/2,R,。,小结,二维均匀分布的两个,边缘密度未必是,均匀分布,二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布,条件分布仍为,均匀或正态分布,二维随机变量的条件分布,离散型,连续型,课堂练习,设,(,X,Y,),的概率密度是,求,(,X,Y,),关于,X,和,Y,的边缘概率密度,.,求,.,解,暂时固定,当 时,当 时,故,暂时固定,暂时固定,暂时固定,当 时,当 时,故,当 时,综上,当 时,当 时,暂时固定,4.,设,(,X,Y,),的概率密度是,A,=24.,解,(1),故,求,(1),A,的值,(2),两个边缘密度,(3),解,(2),当 时,当 时,暂时固定,注意取值范围,综上,当 时,综上,注意取值范围,(2),当 时,故,暂时固定,当 时,故,暂时固定,作业,P82,1,，,5,P86,1,，,5,
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