高等代数(绪论)讲解课件

,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,喀什大学,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,喀什大学,*,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,喀什大学,高等代数,喀什大学数学与统计学院 汪仲文,汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长，喀什师范学院首届“教学名师”。,任课教师,本科，,1994,年毕业于喀什师范学院数学系,硕士，,2006,年毕业于新疆大学数学与系统科学学院,博士，,2010,年毕业于南开大学数学科学学院,办公地点：,3,号楼,210,室,办公电话：,2891005,电子信箱：,辅导答疑：星期五（双周,5,6,）,二、代数发展简史,三、高等代数的基本内容,和特点,四、高等代数与其他学科的关系,一、课程简介,绪 论,五、,学习方法与要求,六、,课程,资源,1.,高等代数是数学系各专业的一门重要必修课，高等代数也是后继课程如近世代数等专业课程以及有关选修课程的基础。,一、课程简介,代数学、几何学、分析数学,是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。,大学数学系的主要基础课：,泛函分析、近世代数、一般拓扑学,（新三基）,数学分析、高等代数、解析几何（老三基）,大学数学系,的主要基础课,数学分析,泛函分析,高等代数,近世代数,解析几何,一般拓扑学,数学大厦的基石,-,公理化方法,康托儿,(1845-1918),出生于俄国的德国,数学家,.,创立了现代,集合论,作为实数理,论和微积分理论体,系的基础,以至于成,为整个现代数学的基础,.,但其成果,当时得不到认可,并受到众多数学,家的攻击,患忧郁症,最后发疯,在,德国哈勒大学附属医院去世,.,大卫,.,希尔波特,:,(1862-1943),出生于,德国的数学家,是二,十世纪的数学大师,.,19,世纪,80,年代,数学,家创立了集合论并,将整个数学建立在此基础上,但集,合悖论的出现引起数学危机,他于,1925,年提出,公理化的思想方法,解,决了这一危机,开创了现代数学,.,代数结构,:,集合上研究代数运算,-,如,:,集合,R,上的加,减,乘,除运算 高等代数,近世代数等,;,序结构,:,集合上的顺序关系,-,如,:,数的大小,个子的高矮等 序代数,格论等,;,拓扑结构,:,集合上连续性等,-,如,:,曲线与直线的关系 数学分析,点集拓扑,代数拓扑等,三大结构的相互重叠,组合构成各个不同的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦,.,数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有,100,多个主要分支学科的庞大的,“,共和国,”,。,大体说来，数学中研究,数,的部分属于,代数学,的范畴；研究,形,的部分，属于,几何学,的范畴；沟通,形与数且涉及极限运算,的部分，属于,分析学,的范围。,这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。,2.,设置本课程的目的：,开设本课程可以使学生了解到代数学最基本的,概念，理论,和,方法,，同时还对学生进行的,“,三个基本,”,训练和,“,一个初步,”,训练，即：,代数学基本思想,的训练、,代数学基本方法,的训练、,代数学基本计算,的训练以及,综合运用分析、几何、代数方法处理问题,的初步训练。,学生学好这门课程的基础内容和方法，对今后的学习，研究和应用具有重要的作用。,“,代数,”,一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家,阿尔,花拉子米,（约780850,，唐朝）,一本著作的名称，书名的阿拉伯文是,“,ilm al-jabr wa,l,muquabalah,”,，直译,为,还原与对消的科学,al-jabr 意为,“,还原,”,或,“,移项,”,，这里指把负项移到方程另一端,“,还原,”,为正项；,muquabalah,意即,“,对消,”,或,“,化简,”,，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项在翻译中把,“,al-jabr,”,译为拉丁文,“,aljebra,”,，拉丁文,“,aljebra,”,一词后来被许多国家采用，英文译作,“,algebra,”,。,阿尔,花拉子米的,代数学,也可以看成是,“,方程的科学,”,。,二、代数发展简史,1859年，我国数学家李善兰（18111882）首次把,“,algebra,”,译成,“,代数,”,。后来清代学者,华蘅芳,和英国人,傅兰雅,合译英国,瓦里斯,的代数学，卷首有,“,代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之,”,，亦即：代数，就是,运用文字符号来代替数字,的一种数学方法。,古希腊数学家丢番图（Diophantus:约公元246-330年,）用文字缩写来表示未知量，,在三世纪中叶,丢番图写了一本数学巨著算术。其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程的思想。故有,“,代数学之父,”,的称号。,代数,是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。发展至今，它包含,算术,、,初等代数,、,高等代数,、,数论,、,抽象代数,五个部分,。,初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的,一次方程组,，,另一方面研究二次以上及可以转化为二次的,高次方程,。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组,（,线性,方程组,）的同时，还研究次数更高的一元方程,。发展到这个阶段，就叫做高等代数。,次数增加，一元,n,次方程，多项式代数,元数增加，,n,元一次方程组，线性代数,人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。,关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家,王孝通,所编的,缉古算经,就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家,秦九韶,在,他所著的,数书九章,这部书的,“,正负开方术,”,里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般解法。,在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式,Cardan,公式。,在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从,1496,到,1526,年在意大利的波伦亚（,Bologna,）大学当教授的,Scipione del Ferro,.,他发现的精确年代并不知道，但是我们知道在,1541,年前不久，意大利数学家塔塔里亚,(,Niccolo Tartaglia,),或许已知道有,del Ferro,的解但又独自地发现了它。,后来被米兰地区的数学家,卡尔达诺,(Gerolamo Cardano 1501,1576),骗到了这个三次方程的解的公式，在,大术,(Ars Magna)(1545),中公开发表，就是通常所说的解三次方程的“,Cardan,公式,”。,塔塔里亚发现的,一元三次方程的解法,一元三次方程的一般形式是,x,3,+,sx,2,+,tx,+,u,=0,如果作一个横坐标平移,y,=,x,+,s,/3,，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如,y,3,+,py,+,q,=0,的三次方程。,假设方程的解,y,可以写成,y=a+b,的形式，这里,a,和,b,是待定的参数。,代入方程，我们就有,a,3,+,3,a,2,b+,3,ab,2,+b,3+,p,(,a+b,),+q=,0,整理得到,a,3,+b,3,=-,(,a+b,)(,p+,3,ab)-q,令,3,ab+p,=0,，,则,a,3,+,b,3,=-,q,，两边各乘以,27,a,3,，就得到,27,a,6,+,27,a,3,b,3,+27,a,3,q=,0,由,p=-,3,ab,可知,27,a,6,+27,qa,3+,p,3,=0,这是一个关于,a,3,的二次方程，所以可以解得,a,。进而可解出,b,和根,x,。,三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被,Cardano,的助手意大利的,费拉里,(,Ludovico Ferarri,，,1522 1565,),在,1540,年给出，而由,Cardano,在,大术,(,Ars Magna)(1545),中公开发表。,费拉里,发现的,一元四次方程的解法,和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：,x,4,=px,2,+qx+r,关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数,a,，我们有,(,x,2,+,a,),2,=(,p,+2,a,),x,2,+,qx+r+a,2,等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为,0,，即,q,2,=,4,(p+,2,a)(r+a,2,),这是一个关于,a,的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以解出参数,a,。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于,x,的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根,x,。,很自然的,数学家们继续努力寻求,五次及五次以上的高次方程的解法,。从十六世纪中叶到十九世纪初，这个问题耗费了许多数学家的时间和精力，当时一些最杰出的数学家（例如,Euler,和,Lagrange,）曾做过一些尝试，但一直都没有被解决。,Lagrange,所做的大大地超过了其他所谓的五次方程的解答者，他给出了,三次和四次方程存在根式解的原因,，是这些方程的求解能简化为解较低次的,“,预解,”,方程。另一方面，他发现同样的方法应用于五次方程却导致一个六次的预解式。这就有可能有力的暗示,次数高于四次的方程一般不能用公式求解,。,到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家,阿贝尔,(,Abel,：,1802,1829,),受高斯处理二项方程,(,形如,x,p,=a,的方程,p,为素数,),的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，于,1824,年，证明了,五次及五次以上的一元,n,次方程没有一般的求根公式,。即,这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、开方这些代数运算表示出来,。,阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答,每一个具体的方程是否可以用代数方法求解,的问题。,他还发现一类能用根式求解的特殊方程。这类方程现在称为,阿贝尔方程,。,阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。,五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华（,Galois,：,1811-1832,）于,1830,年,1,月彻底解决了。他给出了,五次或五次以上的一元,n,次方程的可解条件,。,伽罗华的工作不仅解决了方程具有代数解的等价条件，更重要的是第一次在方程研究中引进了一个非常新的概念,群,，这一理论在整个数学以及近代物理化学、量子化学中都产生了重大的影响，伽罗华的工作使代数学乃至整个数学来了个划时代的变革。,从此，代数学不再以,方程理论,为中心内容，而转向对,代数系统,性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。,现在，可以笼统地把,代数学,解释为关于,字母计算,的学说，但字母的含义是在不断地拓广的。在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量,(,或,n,元有序数组,),、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一门关于,形式运算,的一般学说了。一个带有形式运算的集合称为,代数系统,，因此：,代数是研究一般代数系统的一门科学,。,1,、基本内容,三、高等代数的基本内容和特点,高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，内容大致可分为三大部分：,多项式理论,（多项式是中学所学的整式概念的延伸）、,线