1.3.1 三角函数的周期性(教育精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,1,章 三角函数,1.3.1,三角函数的周期性,（一）情境引入,1,问题：,（,1,）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？,（,2,）物理学中的单摆振动、圆周运动中质点运动，规律如何呢？,2,我们学过的函数中哪些函数也具有这种“周而复始”的基本特征呢？怎样从数学的角度研究函数的周期现象呢？,（二）意义建构,由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）,2,，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同即有,sin,（,2,x,）,sin,x,，,cos,（,2,x,）,cos,x,，,正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性,（三）数学理论,一般地，对于函数,f,(,x,),，如果,存在一个,非零常数,T,，使得定义域内的,每一个,x,值，都满足,f,(,x,T,),f,(,x,),，那么函数,f,(,x,),就叫做,周期函数,，非零常数,T,叫做这个函数的,周期,对于一个周期函数,f,(,x,),，如果在它所有的周期中存在一个,最小的正数,，那么这个最小正数就叫做,f,(,x,),的,最小正周期,判断下列说法是否正确,（,1,）时，则,一定不是 的周期,（）,（,2,）时，则,一定是 的周期,（）,对于一个周期函数,f(x,),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做,f(x,),的,最小正周期。,正弦函数和余弦函数的最小正周期,都是,一个周期函数的周期有多少个？,若钟摆的高度,h(mm,),与时间,t(s,),之间的函数关系如图所示：,(1),求该函数的周期,;,(2),求,t=10s,时钟摆的高度,1,2,3,t,h,o,10,50,20,应用,例,2,求函数 的周期,解：设,f,(,x,),周期为,T,，则,f,(,x,+T,)=,f,(,x,),即,cos,2(,x,+T)=,cos,2,x,对任意实数,x,都成立,.,令,u,=2,x,则,cos,(,u,+2T)=,cosu,对任意实数,u,都成立,.,可知使得,cos,(,u,+2T)=,cosu,对任意实数,u,都成立的,2T,的最小正值为,2,可知,2T=,2,即,T=,.,所以,f,(,x,)=cos2,x,的周期为,.,由,y=,cosu,的周期为,2,一般地，函数 及 （其中 为常数，且 ）的周期是,若 则,通过我们刚才的研究知道,y=,sinx,y=,cosx,是周期函数，周期都 是 ，那么下列函数的周期是多少呢？,应用,2.,若函数 的最小,正周期为 ，求正数 的值。,1.,求下列函数的最小正周期,函数,y=,tanx,是周期函数吗？,那么它的周期是多少？,它有最小正周期吗？,它的最小正周期是多少？,思考,函数,y=,tan(ax)(a,0),是周期函数吗？,思考,1.,下面函数是周期函数吗？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？,3.,已知函数,f(x),对定义域中的每个自变量都有,f(x+2)=-f(x),它是周期函数吗？如果是，它的周期是多少？,2.,已知奇函数,f(x,),是,R,上的函数，且,f(1)=2,f(x+3)=,f(x,),求,f(8).,