《弧度制》

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.1.2 弧度制,在初中几何里，我们学习过角的度量，,1度的角,是怎样定义的呢？,周角的,为1度的角。,这种用,1,角,作,单位,来度量角的制度叫做,角度制,，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度,弧度制,。,1.圆心角、弧长和半径之间的关系：,角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的,点,必然形成一条,圆弧,，,不同的点所形成的圆,弧的长度是不同的，,但都对应同一个圆心角。,=定值,，,设,=,n,，弧长为,l,，半径,OA,为,r,，,则 ，,可以看出，等式右端不含,半径，表示,弧长与半径的,比值,跟半径无关，只与,的,大小有关。,结论：可以用圆的半径作单位去度量角。,2.定义,：,长度等于半径长的圆弧,所对的圆心角叫做,1弧度的角,，弧度记作,rad,。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做,弧度制,。,注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以,略去不写,。,3.弧度制与角度制相比：,(1)弧度制是以,“弧度”,为,单位,的度量角的单位制，角度制是以,“度”,为单位来度量角的单位制；1弧度1,；,（2）,1弧度,是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心角的大小；,（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；,（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。,4.公式：,，,表示的是在半径为,r,的圆中，弧长为,l,的弧所对的圆心角是,rad。,5.弧度制与角度制的换算,用角度制和弧度制度量角，零角既是0,角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.,平角、周角的弧度数：,平角=,rad、周角=2,rad.,正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.,角,的弧度数的绝对值:,（,l,为弧长，,r,为半径）,360,=2,rad，180,=,rad,1,=,1 rad,6.用弧度制表示,弧长,及,扇形面积,公式：,弧长,等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.,弧长公式：,由公式：,比公式 简单.,扇形面积公式,其中,l,是扇形弧长，,R,是圆的半径。,证明：设扇形所对的圆心角为,n,(,rad)，则,又,R,=,l,，所以,证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是,而弧长为,l,的扇形的圆心角的大小是 rad.,所以它的面积是,例1.（1)把112,30,化成弧度(精确到0.001)；,（2）把11230化成弧度（用,表示,）。,解：（1）11230=112.5，,所以11230112.50.01751.969rad.,(2)11230=112.5 =.,例2.把 化成度。,解：1rad=,例3.填写下表：,0,2,例4.扇形,AOB,中，所对的圆心角是60，半径是50米，求 的长,l,（精确到0.1米）。,解：因为60=,所以,l,=,r=,50,52.5.,答：的长约为52.5米.,例5.在半径为,R,的圆中，240,的中心角所对的弧长为,，面积为2,R,2,的扇形的中心角等于,弧度。,解：（1）240=，根据,l,=,R,，得,（2）根据,S,=,lR=,R,2,，且,S,=2,R,2,.,所以,=,4.,例6.与角,1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。,解：1825=536025，,所以与角,1825的终边相同，且绝对值最小的角是25.,合,例7.已知一半径为,R,的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？,解：周长=2,R,=2,R,+,l,，所以,l,=2(,1),R,.,所以扇形的中心角是2(,1)rad.,合(),扇形面积是,