椭圆及其标准方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,椭圆及其标准方程,F,1,F,2,1、椭圆的定义,：,平面内到两个定点F,1,、F,2,的距离之和等于,常数,（大于|F,1,F,2,|）,的点的轨迹叫做,椭圆,这两个定点叫做椭圆的,焦点,，,两焦点间的距离叫做椭圆的,焦距,。,M,几点说明：,2、,M,是椭圆上任意一点,，且,|MF,1,|+|MF,2,|=,常数,；,4、如果,2a2c，,则M点的,轨迹是椭圆,；,5、如果,2a=2c,，则M点的,轨迹是线段,F,1,F,2,.,6、如果,2a|F,1,F,2,|=4，故点M的轨迹为椭圆,(2)因,|MF,1,|+|MF,2,|=4=|F,1,F,2,|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F,1,F,2,)。,(3)因,|MF,1,|+|MF,2,|=4|F,1,F,2,|=3，故点M的轨迹不成图形,故椭圆的两焦点坐标分别为,F,1,(-c,0),和,F,2,(c,0),化简，得,以经过椭圆焦点,F,1,，F,2,的直线为,x,轴，线段,F,1,F,2,的中垂线为,y,轴，建立直角坐标系,xoy,。,设,M（x，y）,是椭圆上的任一点，,设椭圆的焦距为,2c,，点M与两焦点的距离之和为常数,2a,。,椭圆的方程,移项，得,故由椭圆的定义得,（,a,c,）,2,a,则方程可化为,观察左图，你能从中找出表示,c,、,a,的线段吗？,即,a,2,-c,2,有什么几何意义？,只需将,x，y,交换位置即得椭圆的标准方程.,如果以椭圆的焦点所在直线为,y,轴，且F,1、,F,2,的坐标分别为（0，-c）和（0，c），a,、b,的含义都不变，那么椭圆又有怎样的标准方程呢？,思考？,反思？,如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？,焦点在大分母变量所对应的那个轴上,方,程,特,点,（2）在椭圆两种标准方程中，总有,ab0,；,x,O,F,1,F,2,y,椭圆的标准方程,O,F,1,F,2,y,x,(3),焦点在大分母变量所对应的那个轴上；,（1）,方程的左边是两项,平方和,的形式，等号的右边是,1,；,（4）a、b、c都有特定的意义，,a,椭圆上任意一点P到F,1,、F,2,距离和的一半,；,c,半焦距,.,且有关系式 成立。,椭圆的标准方程,1,2,y,o,F,F,M,x,y,x,o,F,2,F,1,M,定 义,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c,之间的关系,c,2,=a,2,-b,2,|MF,1,|+|MF,2,|=2a,小 结：,判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，并指明a,2,、b,2,，写出焦点坐标。,答：在 X 轴。（,-,3，0）和（3，0）,答：在 y 轴。（0，,-,5）和（0，5）,答：在y 轴。（0，,-,1）和（0，1）,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：,焦点在分母大的那个轴上。,应用举例,应用举例,a3,0b9,例1、填空：,(,1),已知椭圆的方程为：，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F,1,的弦，则,F,2,CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,F,1,F,2,C,D,(2)已知椭圆的方程为：，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;曲线上一点P到左焦点F,1,的距离为3，则点P到另一个焦点F,2,的距离等于_，则,F,1,PF,2,的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程,：（1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为_,_,（2）满足a=4,c=，焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为_,例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,（1）两个焦点的坐标分别是（4，0）、（4，0），,椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；,变式：两个焦点的距离等于8，椭圆上的一点P到两焦,点距离的和等于10.,（2）两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，2），,并且椭圆经过点,变式：椭圆经过两点A ,B,或,例4：若方程4x,2,+ky,2,=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。,解：,由,4x,2,+ky,2,=1,可得,因为,方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以,即：0k4,所以k的取值范围为0k4。,变式1：若上题中的,方程“表示焦点在y轴上的椭圆”，则m的取值范围是什么？,练习、若方程 表示焦点在x,轴的椭圆，求 的取值范围。,变式2：若上题中的,方程“表示椭圆”，则m的取值范围是什么？,1,、椭圆 的焦距为2，则m,的值为,_,2、已知F,1,、F,2,是椭圆 的两个焦点，过F,1,的直线交椭圆于M、N两点，则,的周长为,。,3或5,10,练习,