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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并会解决有关弦长、最值问题,.,【,考纲下载,】,第,9,讲 直线与圆锥曲线的位置关系,(1),从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点,(2),从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二,次方程解的情况来判断设直线,l,的方程为,Ax,By,C,0,，圆锥曲线方程为,f,(,x,，,y,),0.,由,消元,如消去,y,后得,ax,2,bx,c,0.,1,直线与圆锥曲线的位置关系,若,a,0,，当圆锥曲线是双曲线时，直线,l,与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线,l,与抛物线的对称轴平行,(,或重合,),若,a,0,，设,b,2,4,ac,.,a,当,时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；,b,当,时，直线和圆锥曲线相切于一点；,c,当,时，直线和圆锥曲线没有公共点,提示：,在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，常常运用设而不求与整体代入等技巧与方法但要注意解析几何的运算具有明确的几何意义比如若用到根与系数的关系，则要保证,0.,0,0,0,，所以可设其两根为,x,1,，,x,2,.,于是,x,1,x,2,4,，,x,1,x,2,1.,答案：,2,在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定,“,定值,”,是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的,【,例,1】,已知，椭圆,C,经过点,A,，,两个焦点为,(,1,0),，,(1,0),(1),求椭圆,C,的方程,；,(2),E,，,F,是椭圆,C,上的两个动点,，,如果直线,AE,的斜率与,AF,的斜率互为相反数，证明直线,EF,的斜率为定值，并求出这个定值,思维点拨：,设出直线,AE,的方程，与椭圆方程联立，设出,E,、,F,点的坐标，结合点,A,在椭圆，由根与系数的关系求出,E,、,F,，再利用斜率公式可求,k,EF,为定值,解：,(1),由题意，,c,1,，可设椭圆方程为,因为,A,在椭圆上，所以,解得,b,2,3,，,b,2,(,舍去,),所以椭圆方程为,(2),设直线,AE,的方程为：,y,k,(,x,1),，代入,得,(3,4,k,2,),x,2,4,k,(3,2,k,),x,4,12,0.,设,E,(,x,E,，,y,E,),，,F,(,x,F,，,y,F,),因为点,A,在椭圆上，所以,x,E,，,y,E,k,x,E,k,.,又直线,AF,的斜率与,AE,的斜率互为相反数，在上式中以,k,代,k,，可得,x,F,y,F,k,x,F,k,.,所以直线,EF,的斜率,即直线,EF,的斜率为定值，其值为,(1),A,，,B,两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；,(2),直线,AB,经过一个定点,证明：,(1),设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,则,y,2,px,1,，,2,px,2,.,OA,OB,，,x,1,x,2,y,1,y,2,0,，,2,px,1,2,px,2,4,p,2,x,1,x,2,4,p,2,y,1,y,2,.,y,1,y,2,4,p,2,为定值,，,x,1,x,2,y,1,y,2,4,p,2,也为定值,变式,1,：,A,，,B,是抛物线,y,2,2,px,(,p,0),上的两点，且,OA,OB,(,O,为坐标原点,),求证：,(2),(,y,2,y,1,)(,y,2,y,1,),2,p,(,x,2,x,1,),x,1,x,2,，,直线,AB,的方程为：,直线,AB,过定点,(2,p,0).,求直线被二次曲线截得的弦长，通常是将直线与二次曲线方程联立，得到关于,x,(,或,y,),的一元二次方程，然后利用根与系数的关系及弦长公式求解,【,例,2】,椭圆,ax,2,by,2,1,与直线,x,y,1,相交于,A,、,B,两点，若,|,AB,|,2,，,且,AB,的中点,C,与椭圆中心连线的斜率为 ，求实数,a,、,b,的值,思维点拨：,利用弦长公式建立,a,与,b,的关系式，利用,k,OC,建立,a,与,b,的关系式，联立解,a,、,b,.,解：,设椭圆与直线交于,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),两点,则由 ，可得：,(,a,b,),x,2,2,bx,b,1,0.,把,代入,得,与圆锥曲线有关的最值问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数、三角、几何诸方面的知识，其中求解策略与方法主要有：平面几何法、建立目标函数法、判别式法，以及应用圆锥曲线的定义转化法,(2009,福建卷,),已知直线,x,2,y,2,0,经过椭圆,C,：,a,b,0),的左顶点,A,和上顶点,D,.,椭圆,C,的右顶点为,B,，,点,S,是椭圆,C,上位于,x,轴上方的动点，直线,AS,，,BS,与直线,l,：,x,分别交于,M,，,N,两点,(1),求椭圆,C,的方程,；,(2),求线段,MN,的长度的最小值,思维点拨：,设出直线,AS,的方程，与直线,l,结合解出,M,点坐标，再将与椭圆方程联立，消去,y,，根据根与系数的关系求点,S,的坐标，由直线,BS,的方程与直线,l,解出,N,点坐标，写出,|,MN,|,后，利用不等式求最小值,【,例,3】,解：,(1),由已知得,，,椭圆,C,的左顶点为,A,(,2,0),，,上顶点为,D,(0,1),，,a,2,，,b,1.,故椭圆,C,的方程为,y,2,1.,(2),直线,AS,的斜率,k,显然存在,，,且,k,0,，故可设直线,AS,的方程为,y,k,(,x,2),，,从而,由 得,(1,4,k,2,),x,2,16,k,2,x,16,k,2,4,0.,设,S,(,x,1,，,y,1,),，则,(,2),x,1,，,得,x,1,从而,y,1,即,S,又,B,(2,0),，,设直线,BS,的方程为,y,(,x,2),由,得,【,方法规律,】,1,直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线、圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数、方程、不等式、平面几何等许多知识，可以有效地考查函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成为了高考的热点和重点,2,求以某一定点为中心的弦的方程有下面几种方法：,(1),将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程,(2),设弦的方程为点斜式，弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于,x,(,或,y,),的一元二次方程，用韦达定理求出中点坐标，从而确定弦的斜率,k,，然后写出弦的方程,(3),设弦的两个端点分别为,(,x,1,，,y,1,),、,(,x,2,，,y,2,),，则由这两点坐标分别满足曲线方程，又,为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程,3,对直线与曲线的交点，采取,“,设而不求,”,或,“,代点法,”,等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会但采用这些方法，由于避免了解方程的过程，方程的解是否存在，必须有,0,这一条件进行保证，否则会发生错误,.,(2008,广东卷,),设,b,0,，椭圆方程为,，抛物线方程为,x,2,8(,y,b,),如图所示，过点,F,(0,，,b,2),作,x,轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为,G,，已知抛物线在点,G,处的切线经过椭圆的右焦点,F,1,.,【,高考真题,】,(1),求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；,(2),设,A,，,B,分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点,P,，使得,ABP,为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由,(,不必具体求出这些点的坐标,),【,探究与研究,】,观察本题目，椭圆属于选修,1,1,，抛物线,(,二次函数,),则可以说是必修,1,的内容，导数也出现在选修,1,1,中这道题目跨越不同的模块，具有一定的综合性,弄清楚题意后，应该设计一个解题程序我们读文章通常要强调,“,文眼,”,，解数学题也应该找出,“,题眼,”,，,“,题眼,”,就是解题的突破口显然，过点,F,(0,，,b,2),作,x,轴的,“,平行线,”,就是本题的,“,题眼,”,，按照这条线索，可以求出点,G,的坐标，接下来利用导数就可以求出切线方程，进而得到点,F,1,坐标，最后以方程为工具，问题迎刃而解,这种跨模块的综合问题有着起点低、入手宽、不难深入的特点其实难度不大，主要是整合的内容比较多，结果就令许多考生胆怯此外，即使是选择,(,填空题,),也有这种趋势一个题目涉及若干知识点，将不同模块的内容糅合在一起，难度中等，考生应该将命题人员整合后的素材再进行分解，找准,“,题眼,”,，就能够顺利解决问题,解：,(1),由,x,2,8(,y,b,),得,y,x,2,b,，,当,y,b,2,时,，,x,4,，,所以,G,点坐标为,(4,，,b,2),y,x,，,y,|,x,4,1,，,过,G,点的切线方程为,y,(,b,2),x,4,，,即,y,x,b,2,，,令,y,0,得,：,x,2,b,，,所以点,F,1,的坐标为,(2,b,0),由椭圆方程得,F,1,的坐标为,(,b,0),，,所以,2,b,b,，,b,1.,因此所求椭圆和抛物线的方程分别为,y,2,1,，,x,2,8(,y,1),【,规范解答,】,(2),因为过点,A,作,x,轴的垂线与抛物线的交点只有一个,P,，所以以,PAB,为直角的直角三角形只有一个；同理，以,PBA,为直角的直角三角形也只有一个,若以,APB,为直角，设,模块整合试题,考查综合分析问题的能力,新课程标准的教材是按照不同模块来编排的，这样就打破了原来教材的编排顺序，各个模块之间既相对独立又同属于一个完整的知识体系，模块之间相互交叉渗透相对于原来版本的教材，知识的体系显得松散了一些例如：解析几何分布在两个不同的模块必修,2,以及选修,1,1,中，将不同模块的内容整合在一道题目中，这是近三年广东高考文科数学试题最显著的特点，相信在,2011,年的试题中依然会延续这种风格,.,点击此处进入 作业手册,【,考纲解读,】,
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