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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矩阵与变换,2.1.1 矩阵的概念,1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;,2.矩阵的表示；,3.相等的矩阵;,2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法,1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则;,2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射;,3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.,2.1 二阶矩阵与平面向量,的矩形数字（或字母）阵列称为,矩阵.,通常用,大写黑体,的拉丁字母,A、B、C,表示，或者用,(,a,ij,),表示，其中,i,j,分别表示元素,a,ij,所在的行与列.,同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的,行,，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的,列.,组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的,元素。,2.2.1 恒等变换,2.2.2 伸压变换,2.2.3 反射变换,2.2.4 旋转变换,2.2.5 投影变换,2.2.6 切变变换,2.2 几种常见的平面变换,恒等变换矩阵,(,单位矩阵,):,恒等变换,:,对平面上任何一点,(,向量,),或图形施以矩阵 对应的变换,都把自己变成自己。这种特殊的矩阵称为,恒等变换矩阵,(,单位矩阵,).,恒等变换矩阵实施的对应变换称为,恒等变换,。,二阶单位矩阵一般记为,E,垂直伸压变换矩阵：,伸压变换：,将平面图形作沿,y,轴方向伸长或压缩,或作沿,x,轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿,y,轴或,x,轴的,垂直伸压变换矩阵,.,伸压变换矩阵对应的变换称为,垂直伸压变换,简称,伸压变换,.,一般地，称形如M,1,M,2,M,3,M,4,M,5,这样的矩阵为,反射变换矩阵,，对应的变换叫做,反射变换,，其中（2）叫做,中心反射,，其余叫,轴反射,.其中定直线叫做,反射轴,，定点称为,反射点,.,M,(l,1,a,+l,2,b,)=l,1,M,a,+l,2,M,b,上式表明，在矩阵M的作用下，直线l,1,a,+l,2,b,变成直线 l,1,M,a,+l,2,M,b.,这种把直线变成直线的变换，通常叫做,线性变换,。,反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变换。,(即形如 的几何变换叫,做线性变换,),旋转变换,矩阵 通常叫做,旋转变换矩阵,.,对应的变换称做,旋转变换,.,其中的角,q,做,旋转角,.,点O叫做,旋转中心,.,旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状.,图形的旋转由,旋转中心,和,旋转角度,决定.,(1)投影变换的几何要素:投影方向,投影到的某条直线L.,(2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素,(3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点,(4)投影变换是映射,但不是一一映射,像 这类将平面内图形投影到某条直线,相应的变换称做,投影变换,.,(或某个点),上的矩阵,我们称之为,投影变换矩阵,投影变换,平移|,ky,|个单位:,当,ky,0时，沿,x,轴正方向移动；,当,ky,0)，,或者,方向相反,(,l,0).,特别地，当,l,=0时，特征向量被变换成了0向量.,2.5 特征值与特征向量,建构数学,设矩阵,A,，,l,R,，,我们把行列式,称为,A,的,特征多项式,。,分析表明，如果,l是矩阵A的特征值，则,f,(l)=0,此时，将,l代入方程组(*)，得到一组非零解,即 为矩阵A的属于,l的一个特征向量.,如果,a,是矩阵A的属于特征值,l,的一个特征向量，则对任意的非零常数,t,，,t,a,也是矩阵,A,的属于特征值,l,的特征向量。,【定理1】,属于矩阵的同一个特征值的特征向量,共线.,属于矩阵的不同特征值的特征向量,不共线,。,【定理2】,建构数学,A,B,C,网络图,结点,一级路矩阵,二级路矩阵,2.6 矩阵的简单应用,
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