工程流体力学的计算方法CFD基础课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,13,章 工程流体力学的计算方法（,CFD,基础）,13.1,代数方程的牛顿迭代法,牛顿迭代法用于求解超越方程,的根，在曲线,上取一点,求,显然,是方程,的一个比,更精确的解，,重复以上计算可以得到任意精确的解。,例：水从池中经管道流出，已知管长,沿程阻力损失系数,局部阻力损失系数,水径,设计流量,试求管径,d,解：列水面和管道出口截面的伯努利方程：,代入数据化简得：,令,则上式化为：,选,作为初值,经3次迭代后得,误差小于,因此取,退出,13.2,差分法,解析函数,可以在点,领域展开成泰勒级数,设有,三个差分节点，,其坐标为,设函数在这三个节点的值为：,设节点间距为,则有泰勒展开式,退出,则有,一阶导数向后差分式,一阶导数向前差分式,可见,具有,的一阶精度,上述两式相减则有：,上述两式相加则有：,对于形如,的微分方程也可以求出,y,的泰勒展开式,退出,两式相减得：,可见：,具有三阶精度。,退出,在平面势流中，流函数和速度势,函数均满足拉普拉斯方程：,现将计算区域分成若干网格，每个,网格的边长都是,，节点,简记为,其二阶导数可以用式近似表示，,则拉普拉斯的差分式为：,令,则：,对每个网格节点都建立形如上式的差分方程，就得到各节点的流函数的代数方程组，给出边界条件，用迭代法可求出其数值解。,例：水在两平板间流动，上板壁的渗透速度,v,0,=,1m/s,下壁不可渗透，入口和出口速度均匀分布，分别为,u,1,=3m/s,和,u,2,=1m/s,和，设板长,h=3m,宽,h=1.5m,将长和宽分成3等份：,退出,下壁面是一条流线，取其流函数为零，即,左边入口处：,因而,同理,右边出口处：,在上壁面，,退出,各节点的代数方程，,由式得：,点（2，2）,点（2，3）,点（3，2）,点（3，3）,退出,上面,4,方程可用矩阵表示：,-10 4 1 0,4 -10 0 1,1 0 -10 4,0 1 4 -10,利用高斯法解此线性方程组得：,于是各节点的流函数的数值为：,4.50 3.50 2.50 1.50,3.00 2.33 1.67 1.00,1.50 1.17 0.83 0.50,0.00 0.00 0.00 0.00,流函数的物理意义：平面流动中，流,过,两条流线间任一曲线的体积流量（单位厚度）等于两条,流,函数之差。,退出,13.3,特征线法,特征线法用于求解一维非定常可压缩流动问题的数值解，水击压力波在管道内的传播，高速列车进入隧道时所产生的压力波的传播，都属于这种流动。,圆截面中可压缩粘性的非定常流动的运动微分方程：,管壁粘性摩擦应力,可以用沿程阻力损失系数,表示：,代入得：,退出,连续性方程：,压力波的传播速度：,音波（微压波）,水击波：,D,：,管道直径,E：,流体体积弹性系数,E,固,：管壁材料的弹性模量,：,管壁厚度,：,流体密度,水击波的传播速度,C=12001400,m/s,退出,这样连续性方程可改写成:,，两式相加，减得：,如果：,则：,如果：,则：,退出,表示一条,x,t,的关系曲线，记作,C,+,，,称为特征曲线,C,+,。,同样,称为特征线,C,。,这样式可以写成：,沿特征线,C,+,：,沿特征线,C,：,退出,下面用特征线法研究水击波和隧道压力波问题,1.水击波,水击波传播速度,C=1200,1400,m/s,，,远大于水速度,u,，,因此，特征线方程可以写成：,沿,C,+,：,沿,C,：,设管长为,L，,管壁为,D，,截面,管内流速为,u，,阀门过流截面,A,随时间而变,，过流速为,V，Vu,退出,在初始时刻（,t=0），,管道定常出流，根据伯努利方程：,此时，管流速度为定常出流速度，记作,u,0,距管道入口,x,的截面上压强水头,的伯努利方程：,即：压强水头,h,沿,x,的分布为：,退出,当,t0,时，管道入口的压强水头恒为,h,0,即,在阀门处，,V,和,h,的关系：,此时管内流速,u：,取,L,为特征长度，,h,0,为特征水头，,u,0,取为特征速度，,L,0,/C,特征时间,将式写成无量纲的形式：又,沿,C,+,：,沿,C,：,式中：,沿,（边界条件：）,退出,初始条件：,边界条件：,（初始条件：）,目的是要计算出管道每一截面处的流动参数从时刻,t=0,到,t=T,任一时间里的变化值。,将管长,L,分为,N,等分，,即无量纲的空间步长,时间步长与空间步长相等,退出,计算,x,t,图上的网络如上图所示。,如果,时刻管轴上每一个节点,的流动参数,u，h,已经算出，,利用特征线方程就可以计算下一时刻,各个节点,的流动参数,将时刻,的节点（,i+1，j）,记为,P，,过,P,作特征线,C,+,和,C,必,通过节点和（,i，j-1）（i-1，j）,和,（,i，j-1）,分别记为,W,和,E,退出,根据特征线方程有：,或,这样就可以求出,P,点的,h,和,u，,即：,其中：,退出,在,x=0,处，只有一条特征线,C,，,但由于压强水头恒为1，因此：,在,x=1,处，即,j=N,处，只有一条特征线,C,+,但,u,可以由式给出：,由以上两式联立可解出,和,逐个时刻进行计算，就可以得到各时刻管道上个节点的流动参数，,u,和,h,的值。,退出,2.隧道压力波,波速,C,是小扰动波的传播，,气流速度,u,和,C,相比不一定,是微量，不能忽略，另外,C,是变化的，小扰动波的传播可视为等熵,过程。,由,得到：,退出,于是特征线方程可以写成：,沿,C,+,：,沿,C,：,式中：,特征线不经过节点，因为波动,方程的差分要满足：,因空间步长,x,要大于时间步长,t,所以,w,点落在节点（,i,j-1）,的右侧,E,点落在节点（,i,j+1,）,的左侧,退出,特征方程的差分形式为：,的位置未知，要反复迭代才能确定其位置，当,确定后，点的参数用节点,的参数内插得到，符号表,示两点间的平均值。,当各节点的,u,和,c,求出后，由等熵关系求出节点的,，R，T,其初始条件和边界条件的确定比较复杂。,退出,13.4,有限元的插值函数,一线性插值,如果已知曲线上的几个点坐标,求曲线,方程，可以近似用折线表示：,如果将坐标原点放在,x,1,处，即,x,1,=0,且令,x,2,x,1,=L,则有：,令,退出,显然：,称为样条函数或插值函数,已知,n,个点曲线可以表示为：,一.加权余量法，设有流动问题的方程和边界条件是：,退出,一般化为：,设,u,近似为：,定义余量,为：,要使,最小，则存在加权函数,与,在区域,内,E,正,交，即内积为零：,如果选,为加权函数，则有,即：,解此方程可求出系数,u,1,u,m,这种方法称为加权余量法,退出,三.一维有限元法：,有限元法把总体区域分成若干子区域，每个子区域称为单元，,单元指,区域。,退出,