含参不等式恒成立问题的解法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,含参不等式恒成立问题的解法,一、基础知识点：,、,f(x)=ax+b,x,，,则：,f(x)0,恒成立,f(x),0,f(,)0,f(,)0,f(,)0,在,R,上恒成立的充要条件是,：,_,。,a=b=0,C,0,或,a,0,=,b,2,-4ac,0,ax,2,+bx+c0,在,R,上恒成立的充要条件是：,_,。,a=b=0,C,0,或,a,0,=,b,2,-4ac,0,.,(*),（1）,当,|,x|,2，,(*),式恒成立，求实数,m,的取值范围,；,（,2,）当,|,m|,2，,(*),式恒成立，求实数,x,的取值范围,.,当,1-m,1,(*),式在,x,-2,2,时恒成立的,充,要条件为：,解：,(1)当,1-m=0,即,m=1,时，,(*),式恒成立，故,m=1,适合,(*),；,(1-m),(-2),2,+(m-1),(-2)+3 0,当,1-m,0,时，即,m1,(*),式在,x,-2,2,时恒成立的,充,要条件为：,=(m-1),2,-12(I-m)0,，,解得,:,-11m1,；,解得,:,1,m,综上可知,:,适合条件的,m,的范围是,:-11m,0,恒成立,g(-2)=3x,2,-3x+30,g(2)=-x,2,+x+30,解(2):设,g(m)=(-x,2,+x)m+(x,2,-x+3)（m -2,2）,即,x R,x 0,.,(*),（1）,当,|,x|,2，,(*),式恒成立，求实数,m,的取值范围,；,（,2,）当,|,m|,2，,(*),式恒成立，求实数,x,的取值范围,.,练习,1:,对于一切,|,p|2，pR，,不等式,x,2,+px+12x+p,恒成立，则实数,x,的取值范围是：,。,x3,小结：,1,、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。,2,、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问,题，分类讨论。,例2、,若不等式,x,2,0,对,x,-3,3,恒成立，则实数,k,的取值范围是,。,1,0,x,y,y=x,2,y=,log,x,在同一坐标系下作它们,的图象如右图,:,解：,设,y,1,=,x,2,(x,(0,),),y,2,=,log,a,x,由图易得,:,a 1,a,1,y=x,2,+2,-,-,2,11,y=,kx,y=2 x,y=,-,2 x,解：原不等式可化为：,x,2,+2,kx,例2、,若不等式,x,2,0,对,x,-3,3,恒成立，则实数,k,的,取值范围是,。,设,y,1,=,x,2,+2(x,-3,3,),y,2,=,kx,在同一坐标系下作它们的图,象如右图,:,由图易得,:,-2 ,k2,-2 k 0）,解:,分离参数得,:,a,又,令,1+2,t=m（m 1）,，,则,f(m)=,a,f,(x),max,=,即,a,(,当且仅当,m=,时等号成立,),恒成立,则,a （,t,0）,恒成立,小结：,4,、,通过分离参数，将问题转化为,f(x),（,或,f(x)）,恒,成立，再运用不等式知识或求,函数最值的方法，使 问题获解。,例、已知,a0，,函数,f(x)=ax-bx,2,，,（1）,当,b1，,证明对任意的,x 0,1，|f(x)|1,充要条件是,:,b-1a2 ；,（2）,当01,bx,+,2 (x=,时取等号,),bx,-,a,+,bx,解:(1),b1,时,对,x,(0,1,|f(x)|1 -1,ax-bx,2,1,bx,2,-1,ax,1+bx,2,故,x,(0,1,时原式恒成立的充要条件为,:,b-1a2,(,bx,-),max,=b-1 (x=1,时取得,),又,bx,-,在(0,1,上递增,又,x=0,时，,|,f(x)|1,恒成立,x,0,1,时原式恒成立的充要条件为,:,b-1a2,故,(,bx,+),min,=b+1 (x=1,时取得,),(2),00,三、课时小结：,2,、,二次函数型,问题，结合抛物线图像，转化成最值问,题，,分类讨论,。,3,、对于,f(x),g(x),型,问题，利用,数形结合,思想转化为函数图,象的关系再处理。,4,、通过,分离参数,，将问题转化为,f(x)（,或,f(x)）,恒,成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使,问题获解。,1,、,一次函数型,问题，利用一次函数的图像特征求解。,4,、,已知,f(x)=(x R),在区间,-1，1,上是增函数。,（,1,）求实数,a,的值所组成的集合,A；,（2）,设关于,x,的方程,f(x)=,的两根为,x,1,、x,2,，,试问：是否存在实数,m，,使得不等式,m,2,+t m+1,|x,1,-x,2,|,对任意,a A,及,t -1，1,恒成立？若存在，求出,m,的取值范围；若不存在，请说明理由。,1,、,当,x (0,1),时，不等式,x,2,0,对,x (1,4),恒成立，求实数,a,的取值范围。,2,、若不等式,|,x-a|+|x-1|2,对,x R,恒成立，,则实数,a,的取值范围是,_,。,四、课后练习：,