层次分析法的基本原理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六讲 层次分析法的基本原理,基础教研部：夏冰,数学建模,哈尔滨金融学院,一、问题的提出,例1 购物,买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。,买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。,决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。,层次分析法的基本原理,数学建模,哈尔滨金融学院,例2 旅游,假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。,例3 择业,面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。,数学建模,哈尔滨金融学院,例4 科研课题的选择,由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。,面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。等人在20世纪七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。,数学建模,哈尔滨金融学院,层次分析法简介,层次分析法是萨蒂（saaty)等人20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。,层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。,数学建模,哈尔滨金融学院,一、层次分析法的基本思路,与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。,选择钢笔,质量、颜色、价格、外形、实用,钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4,质量、颜色、价格、外形、实用进行排序,将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序,经综合分析决定买哪支钢笔,数学建模,哈尔滨金融学院,二、层次分析法的基本步骤,买钢笔,质量,颜色,价格,外形,实用,可供选择的笔,一般分为三层，最上面为,目标层,，最下面为,方案层,，中间是,准则层（指标层）,。,准则层,方案层,目标层,数学建模,哈尔滨金融学院,1、建立层次结构模型,选择,旅游地,景色,费用,居住,饮食,旅途,苏州、杭州、,桂林,例2,层次结构模型,准则层A,方案层B,目标层Z,若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为,完全层次结构,，否则称为,不完全层次结构,。,数学建模,哈尔滨金融学院,设某层有个因素，,2、构造成对比较矩阵,比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把,n,个因素对上层某一目标的影响程度排序）,用 表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则,则称为,成对比较矩阵,。,上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取,19尺度。,数学建模,哈尔滨金融学院,尺度,第 个因素与第 个因素的影响,相同,第 个因素比第 个因素的影响,稍强,第 个因素比第 个因素的影响,强,第 个因素比第 个因素的影响,明显强,第 个因素比第 个因素的影响,绝对地强,含义,比较尺度,：（,19尺度的含义）,2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述,两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，,根据。,数学建模,哈尔滨金融学院,成对比较矩阵,满足以下性质,数学建模,哈尔滨金融学院,则称为,正互反阵,。,例2（旅游问题）,第二层,A,的各因素对目标层,Z,的影响两两比较结果如下：,Z,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分别表示,景色、费用、,居住、饮食、,旅途。,数学建模,哈尔滨金融学院,由上表，可得成对比较矩阵,旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。,问题：,两两进行比较后，如何判断下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？,数学建模,哈尔滨金融学院,3、层次单排序及一致性检验,层次单排序：,确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。,例如 一块石头重量记为1，打碎分成n个小，各块的重量分别记为：,则可得成对比较矩阵,由右面矩阵可以看出，,数学建模,哈尔滨金融学院,即，,但在例,2,的成对比较矩阵中，,在正互反矩阵 中，若 ,则称 为,一致阵,。,一致阵的性质：,5.A的任一列(行)都是对应于特征根n的特征向量。,数学建模,哈尔滨金融学院,若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最,大特征根 的归一化特征向量 ，且,定理,：阶互反阵 的最大特征根 ，当且仅,当 时，为一致阵。,表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。,若成对比较矩阵不是一致阵，,Saaty,等人建议用其最大,特征根对应的归一化特征向量作为权向量 ，则,这样确定权向量的方法称为,特征根法.,数学建模,哈尔滨金融学院,由于 连续的依赖于 ，则 比 大得越多，的不,一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较,因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，,引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量,的不一致程度。,定义,一致性指标,其中 为 的对角线元素之和，也为 的特征根之和。,数学建模,哈尔滨金融学院,则可得一致性指标,定义随机一致性指标,随机构造500个成对比较矩阵,随机一致性指标 RI 数值表,n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,RI,0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51,数学建模,哈尔滨金融学院,一致性检验,：,利用一致性指标和一致性比率,0.1,及随机,一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。,一般，当一致性比率,的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量,作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 加,以调整。,时，认为,数学建模,哈尔滨金融学院,确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，,称为,层次总排序,从最高层到最低层逐层进行。设：,对总目标Z的排序为,的层次单排序为,数学建模,哈尔滨金融学院,4、层次总排序及其一致性检验,即 层第 个因素对,总目标的权值为：,层的层次总排序为：,B,层的层次,总排序,A,B,数学建模,哈尔滨金融学院,层次总排序的一致性检验,设 层 对上层(层)中因素,的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为 ，,则层次总排序的一致性比率为：,当 时，认为层次总排序通过一致性检验。到,此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。,数学建模,哈尔滨金融学院,1.建立层次结构模型,该结构图包括目标层，准则层，方案层。,层次分析法的,基本步骤,归纳如下,3.计算单排序权向量并做一致性检验,2.构造成对比较矩阵,从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。,对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。,哈尔滨金融学院,数学建模,计算最下层对最上层总排序的权向量。,4.计算总排序权向量并做一致性检验,进行检验,，若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。,利用总排序一致性比率,数学建模,哈尔滨金融学院,数统治着宇宙。,毕达哥拉斯,数学建模,哈尔滨金融学院,