1.1.1集合的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,集合的含义与表示,（第一课时）,2017.9.25,集合的含义与表示,了解,康托尔,德国数学家，集合论的创始者。,1845,年,3,月,3,日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），,1918,年,1,月,6,日病逝于哈雷。,学习目标,1.,了解,集合的含义,以及集合中元素的,确定性、互异性与无序性,.,2.,掌握元素与集合之间的,属于关系并能用用符号表示,.,3.,掌握,常用数集及其专用符号,，学会使用集合语言叙述数学问题,.,4.,掌握集合的表示方法：,自然语言、集合语言,(,列举法、描述法,),，并能相互转换,.,能选择适当的方法表示集合,.,数集,自然数的集合,有理数的集合,不等式,x-73,的解的集合,初中学习了哪些集合的实例,点集,圆,(,到一个定点的距离等于定长的点的集合,),线段的垂直平分线,(,到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合,),等等,.,“,请我们班所有的女生起立！”，咱们班所有的女生能不能构成一个集合？,“,请我们班身高在,1.70,米的男生起立！”，他们能不能构成一个集合？,其实，生活中有很多东西能构成集合，比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等。大家能不能再举一些生活中的实际例子呢？,一般地,我们把研究对象统称为,元素,把一些,元素组成的总体叫做,集合,(,简称为,集,).,集合的概念,（,1,）世界上最高的山能不能构成集合？,（,2,）世界上的高山能不能构成集合？,思考：,（,3,）由实数,1,、,2,、,3,、,1,组成的集合有几个元素？,（,4,）由实数,1,、,2,、,3,、,1,组成的集合记为,A,由实数,3,、,1,、,2,、组成的集合记为,B,这两个集合相等吗？,集合元素具有以下三个特征,确定性,：,给定的集合，它的元素必须是确定 的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了,互异性,：,一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同,。,无序性,：,集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置,这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地,.,判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由,:,(1),大于,3,小于,11,的偶数,;(2),我国的小河流,.,问题,如果用,A,表示高一（,3,）班学生组成的集合，,a,表示高一（,3,）班的一位同学，,b,表示高一（,4,）班的一位同学,那么,a,、,b,与集合,A,分别有什么关系？由此看出元素与集合之间有什么关系？,由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成,整体,通常用大写字母,A,B,C,等表示集合,.,而用,小写字母,a,b,c,等表示集合中的元素,.,元素与集合的关系有两种,:,如果,a,是集,A,的元素，记作,:,如果,a,不是集,A,的元素，记作：,例如，用,A,表示“,120,以内所有的质数”组成的集合，则有,3,A,，,4 A,，等等。,元素与集合的关系,常用的数集,课堂练习,P,5,第,1,题,判断,0,与,N,N*,Z,的关系,?,解析,:,判断一个元素是否在某个集合中,关键在于,弄清这个集合由哪些元素组成的,.,数集,符号,自然数集,(,非负整数集,),N,正整数集,N,*,或,N,+,整数集,Z,有理数集,Q,实数集,R,问题,(1),如何表示“地球上的四大洋”组成的集合,?,(2),如何表示“方程,(x-1)(x+2)=0,的所有实数根”组成的集合,?,1,-2,把集合中的元素一一列举出来,并用花括号括起来表示集合的方法,叫做,列举法,.,集合的表示方法,太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋,例,1,用列举法表示下列集合：,(1),小于,10,的所有自然数组成的集合；,(2),方程 的所有实数根组成的集合；,(3),由,120,以内的所有素数组成的集合,.,解,：,(1)A=0,，,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，,9.,(2)B=0,，,1.,(3)C=2,，,3,，,5,，,7,，,11,，,13,，,17,，,19.,一个集合中的元素的书写一般不考虑顺序,(,集合中元素的无序性,).,1.,确定性,2.,互异性,3.,无序性,（注意：,元素与元素之间用逗号隔开,）,(1),您能用自然语言描述集合,2,4,6,8,吗,?,(2),您能用列举法表示不等式,x-73,的解集吗,?,小于,10,的正偶数的集合,不能一一列举,(,请阅读课本,P4,例,2,前的内容,),集合的表示方法,第一课时完,集合的含义与表示,制作：胡海权,（第二课时）,2009.9.25,(2),用描述法表示下列集合,1,-1,大于,3,的全体偶数构成的集合,.,练习,(1),用列举法表示下列集合,自然语言主要用文字语言表述,而列举法和描述法是用符号语言表述,.,列举法主要针对集合中元素个数较少的情况,而描述法主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的情况,.,集合的表示方法,练习,P,5,练习第,2,题,基础练习,1.,填空题,设集合,-2,-1,0,1,2,，,时代数式的值,则中的元素是,现有,:,不大于的正有理数,.,我校高一年级所有高个子的同学,.,全部长方形,.,全体无实根的一元二次方程四个条件中所指对象不能组成集合的,3,0,-1,2,选择题,以下说法正确的,(),(A)“,实数集”可记为,R,或,实数集,或,所有实数,(B)a,b,c,d,与,c,d,b,a,是两个不同的集合,(C)“,我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定,已知,2,是集合,M=,中的元素，则实数为,(),(A)2 (B)0,或,3 (C)3 (D)0,2,3,均可,C,c,（,3,）下列四个集合中，不同于另外三个的是：,yy=2 B.x=2,C.2 D.xx,2,-4x+4=0,(4),由实数,x,-x,x,所组成的集合 中，最 多含有的元素的个数为（）,A.2 B.3 C.4 D.5,（,1,）方程组 的解集用列举法表示,为,_,；用描述法表示为,.,（,2,）集合,用列举法表示为,.,3.,填空,1.,用描述法表示下列集合,1,，,4,，,7,，,10,，,13,1/3,1/2,3/5,2/3,5/7.,x|x=3n-2,n N*,且,n5,解,：,x|x=,n N*,且,n5,能力提高题,2.,用列举法表示下列集合：,（,1,）,A=xN Z,(2)B=N xZ,4.,若,-3 a-3,2a+1,a,2,+1,求实数,a,的值,.,3.,求集合,3,，,x,x,2,-2x,中，元素,x,应满足的条件。,回 顾 交 流,今天我们学习了哪些内容？,集合元素的性质：确定性，互异性，无序性,2,集合的含义,1,4,常用数集及其表示,5,集合的表示法：列举法、描述法,元素与集合的关系：,，,3,第,12,页,习题,1.1 A,组 第,1,、,2,、,3,、,4,题,课堂作业,大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授,H.E.,海涅鼓励他研究函数论。他于,1870,、,1871,、,1872,年发表三篇关于三角级数的论文。在,1872,年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。,1872,年康托尔在瑞士结识了,J.W.R.,戴德金，此后时常往来并通信讨论。,1873,年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在,1874,年的论文,关于一切实代数数的一个性质,中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。,格奥尔格,康托尔,康托尔（,Georg Cantor,，,1845-1918,，德）德国数学家，集合论的创始者。,1845,年,3,月,3,日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），,1918,年,1,月,6,日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔,11,岁时移居德国,在德国读中学。,1862,年,17,岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于,E.E.,库默尔、,K.,（,T.W.,）外尔斯特拉斯和,L.,克罗内克。,1866,年曾去格丁根学习一学期。,1867,年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。,1869,年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，,1872,年任副教授，,1879,年任教授。,康托尔在,1878,年这篇论文里已明确提出“势”的概念,(,又称为基数,),并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。,康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在,1879,1884,年发表的题为,关于无穷线性点集,论文,6,篇，其中,5,篇的内容大部分为点集论，而第,5,篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。,在,1891,年发表的,集合论的一个根本问题,里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在,1878,年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在,1883,年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。,在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷,?,从,1874,年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，,1877,说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于,1878,年发表后引起了很大的怀疑。,P.D.G.,杜布瓦雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在,1877,年,7,月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到,1910,年才由,L.E.J.,布劳威尔给出证明。,19,世纪,70,年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在,1883,年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和,D.,希尔伯特的鼓励和赞扬。,20,世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。,他的著作有：,G.,康托尔全集,1,卷及,康托尔,-,戴德金通信集,等。,康托尔是德国数学家，集合论的创始者。,1845,年,3,月,3,日生于圣彼得堡，,1918,年,1,月,6,日病逝于哈雷。,康托尔,11,岁时移居德国，在德国读中学。,1862,年,17,岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，,1866,年曾去格丁根学习一学期。,1867,年以数论方面的论文获博士学位。,1869,年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，,1872,年任副教授，,1879,年任教授。,集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。,