第二节正态总体均值的假设检验

单击此处编辑母版标题样式,概率统计,1.已知，关于 的检验 (U 检验),在 已知条件,下用服从,的统计量检验正,态总体 的方法为 U 检验法,(1)检验假设:,取检验统计量:,第二节 正态总体均值的假设检验,一.单个正态总体 均值 的检验,则在显著性水平 下,的,拒绝域,:,的拒绝域,的接受域,(2)检验假设：,或,取检验统计量:,则在显著性水平 下,的拒绝域:,的接受域,的拒绝域,或,的接受域,的拒绝域,为什么会提出“平均寿命大于225小时的问题,怎样提假设,在样本观察值中,有7个数据值远大于225,有3个数据值接近225,某种元件的寿命 均未知.现测得16只元件的寿命(小时)如下：,159 280 101 212 224 379 179 264,222 362 168 250 149 260 485 170,问能否认为元件的平均寿命大于225(小时)?,实际问题需要,依题意，要检验假设,采用单边,检验法,求得 的拒绝域是,即认为,元件的平均寿命不大于225(小时).,其中,不拒绝,例1.,已知某钢铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从,正态分布,现又测了5 炉铁水，,其含碳量分别为:,问：当总体标准差没有改变时，现在生产是否正常?,解:,假设,总体标准差没有改变，即 已知的情况,统计量,给定显著性水平,从而：,经计算,那么：,拒绝 ，可认为现在的生产是不正常的。,例2,已知某正态总体的方差为 49，抽测 24个样本值的均值为,问：总体均值 是否成立,解:,显然它与检验,时的讨论是一样的。,取统计量,因为是单边检验，,所以：,假设,给定显著性水平,接受 ，即可以认为总体均值 是成立的,注:,(1)对于,与,的讨论均可归为如下统一形式的讨论:,因为它们的拒绝域是一致的,经计算,或,(2)对于,与,检验过程中唯一不同的是在查正态分布表时，,前者是利用概率关系式：,而后者是利用概率关系式：,或,2.未知，关于 的检验 (t 检验),(1)检验假设:,在 未知条件下用服从 的统计量检验正态总体 的方法为 检验法,因为 未知，所以可以考虑用,的无偏估计 来代替，故有:,取检验统计量,那么有：,(2)检验假设：,则在显著性水平 下,的拒绝域:,的拒绝域,的接受域,或,或,同(1)讨论类似，则在显著性水平 下,的拒绝域:,的拒绝域,的接,受域,的接,受域,的拒绝域,例3,某库房要验收大批同类物质，根据以往的经验，这批物质每件的重量服从正态分布。按规定这批物质平均每件重量应为 100 公斤，今抽取10 件,测得其均值,问：能否接受这批物质?,解:,未知，,所以用 t 检验。,经计算,设,接受 ，即可认为该库房应接受这批物质。,二.两个正态总体均值差的检验,设 是来自 的样本,是来自 的样本,它们相互独立,分别是两个总体的均值与方差,1.当 未知时(t 检验),为已知常数，显著水平为,而,检验假设:,检验统计量,同单个总体的讨论类似，有：,其中：,在显著性水平 下,的拒绝域:,注:,当 未知时,检验假设,或,的讨论完全类同，,在显著性水平 下,的拒绝域:,或,2.当 均已知时(U 检验),检验假设:,为已知常数，显著水平为,检验统计量,同单个正态总体的讨论类似，有:,在显著性水平 下,的拒绝域:,注:,当 均已知时,检验假设:,或,的讨论完全类同，,在显著性水平 下,的拒绝域:,或,3.基于成对数据的假设检验(t 检验),逐比照较法,为了比较两种性能之间的差异，在相同的条件下作比照试验，得到一,批成对的观察值。对观察值进行分析，作出推断的方法。,例4,现要比较甲、乙两种橡胶制成的轮胎的耐磨性。,今从甲、乙两种轮胎中各随机的取 8 个，又从,两组中各取一个组成一对，共 8 对；,再随机的取 8 架飞机，将 8 对轮胎随机地搭配,给这 8 架飞机作耐磨性试验，当飞机飞行了一,定时间后测得轮胎的磨损量的数据(单位：毫克),如下：,甲,乙,4900 5220 5500 6020 6340 7660 8650 4870,4930 4900 5140 5700 6110 6880 7930 5010,试问：这两种轮胎的耐磨性有无显著的差异？,解：,设 X，Y：甲、乙两种轮胎的磨损量,并设 X，Y 均服从正态分布，即：,方法一：数据不配对分析,将所观察的两行数据,分别,作为X，Y的样本,依题意，检验假设：,因为,已知,所以,在给定的显著性水平,下,的拒绝域为：,经计算,因为：,所以,接受,可认为这两种轮胎的耐磨性,无显著差异,。,方法二：数据配对分析,在方法一中是将所观察的两行数据,分别,作为,X，Y的样本，而没有去区别它们是否来自于,同一架飞机。,注意到,：,实际上,：,不同的飞机其试验的条件是不完全一致的，,有的甚至于有很大的差异，所以飞机之间的,试验条件的不同会对试验数据产生干扰,容易将飞机之间的试验条件的差异,与轮胎之间耐磨性的差异交织在一,起，分辨不出轮胎之间真正的差异。,方法一的缺乏：,方法二的做法：,观察分析,同一架,飞机上两种轮胎的磨,损量的差异，作出推断。,今令：,并令,是总体,的样本,从而将原问题转化为单个正态总体中当,未知时,关于,的假设检验问题。,检验假设：,按单个正态总体中当 未知时，关于 的假设检验,的计算公式，可得 的拒绝域为：,经计算,因为：,所以,拒绝,可认为这两种轮胎的耐磨性,有显著差异,。,注：,用两种不同的方法得到了两种不同的结论，那么,究竟应该采取哪一个结论比较合理呢？,显然，应该采取第二种方法得出的结论是合理的,因为,数据配对的方法是针对同一架飞机的，它是,排除了因飞机之间的试验条件的不同而对数据产,生的干扰，,所以,它是直接反映了这两种轮胎的耐,磨性的显著差异的情况，,因此,，应采取第二种方,法得出的结论，即可认为这两种轮胎的耐磨性有,显著差异。,基于成对数据的假设检验的,一般提法,：,设有 对相互独立的观察结果：,令：,则,相互独立。,又由于,是由同一因素所引起的，所以可认为它们服从同,一分布。,现假设,未知,即,是来自正态总体的一个样本。其样,本均值与样本方差的观察指为,检验假设,由单个正态总体均值的,t 检验,，可得检验问题(1)、,(2)、(3)的拒绝域分别为：,