简单的线性规划问题（一）课件

湖南省长沙市一中卫星远程学校,*,湖南省长沙市一中卫星远程学校,湖南省长沙市一中卫星远程学校,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,3.3.2,简单的线性规划,问题,(,一,),3.3.2简单的线性规划,引入新课,1.,某工厂用,A,、,B,两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用,4,个,A,配件耗时,1h,，每生产一件乙产品使用,4,个,B,配件耗时,2h,，该厂最多可从配件厂获得,16,个,A,配件和,12,个,B,配件，按每天工作,8h,计算，该厂所有的日生产安排是什么？,引入新课1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生,(1),设甲、乙两种产品分别生产,x,、,y,件，由已知条件可得二元一次不等式组：,分析：,(1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元,(3),若生产一件甲产品获利,2,万元，生产一,件乙产品获利,3,万元，采用哪种生产安排,利润最大？,(2),将上述不等式组表示成平面上的区域，,(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一(2)将上述不等式组,(3),若生产一件甲产品获利,2,万元，生产一,件乙产品获利,3,万元，采用哪种生产安排,利润最大？,设生产甲产品,x,乙产品,y,件时，工厂获得的,利润为,z,则,z,=2,x,+3,y,.,上述问题就转化为：,当,x,、,y,满足上述不等式（组）并且为非负整数时，,z,的最大值是多少？,(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一,1.,上述问题中，不等式组是一组对变量,x,、,y,的,约束条件,，,这组约束条件都是关于,x,、,y,的一次不等式，所以又叫,线性约束条件,.,线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示,.,1. 上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 线,2.,欲求最大值或最小值的函数,z=2,x,+3,y,叫做,目标函数,.,由于,z,=2,x,+,y,又是,x,、,y,的一次解析式，所以又叫,线性目标函数,.,2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y叫做目标函数.由,5.,由所有可行解组成的集合叫做,可行域,.,6.,使目标函数取得最大值或最小值的可行解，它们都叫做这个问题的,最优解,.,3.,一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为,线性规划问题,.,4.,满足线性约束条件的解,(,x,y,),叫做,可行解,.,5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 6. 使目标函数取,例题分析,例,1.,设,z,2,x,y,，式中变量,x,、,y,满足,下列条件：,求,z,的最大值和最小值,.,例题分析 例1. 设 z2xy，式中变量x、 y满足,4,2,2,4,6,O,C,A,B,y,x,42246OCAByx,我们先画出不等式组,(1),表示的平面区,域，如图中,ABC,内部且包括边界，点,(0,0),不在这个三角形区域内，,方程,2,x,+,y,=,z,表示斜率为,-2,的直线，,y,4,2,2,4,6,O,C,A,B,y,x,当,z=0,时，,直线过原点，,随着,z,值得变化，,直线,2,x,+,y,=,z,平行移动,思考：在这里，,z,表示的几何意义是什么？,我们先画出不等式组(1)表示的平面区y422,如图可知，,当,l,在,l,0,的右上方时，,直线,l,上的点,(,x,y,),满足,2,x,+,y,0.,即,z,0,，而且,l,往右,平移时，,z,随之增,大，在经过不等式,组,(1),表示的三角形,区域内的点且平行,于,l,的直线中，我们发现：,y,4,2,2,4,6,O,C,A,B,y,x,如图可知，y42246OCAByx,（,2,）经过点,B,(1,1),的直线,l,1,所对应的,z,最小,.,y,4,2,2,4,6,O,C,A,B,y,x,（,1,）经过点,A,(5,2),的直线,l,2,所对应的,z,最大，,所以：,z,的最大值为,12,z,的最小值为,3,（2）经过点B(1,1)的直线y42246OCAByx（1）,练习,1.,解下列线性规划问题：求,z,2,x,y,的最大值和最小值，使式中的,x,、,y,满足,约束条件,练习1.解下列线性规划问题：求z2xy的最大值和最小值，,解：先作出可行域，,y,x,O,1,1,见图中,ABC,表示的区域,且求得,解：先作出可行域，yxO11见图中ABC表示的区域, 且求,当,l,0,平行线,l,2,过,C,点时，可使,z,=2,x,+,y,达到最大值,.,解：先作出可行域，见图中,ABC,表示的区域,且求得,y,x,O,1,1,作出直线,l,0,:2,x,+,y,=0,，,再将直线平移，当,l,0,平行线,l,1,过,B,点时，可使,z,=2,x,+,y,达到最小值，,当l0平行线l2过C点时，可使z=2x+y达到最大值.解：先,z,min,=2(1)+(1)=,3,，,z,max,=22+(,1)=3.,所以：,y,x,O,1,1,zmin=2(1)+(1)=3，所以：yxO11,解答线性规划问题的步骤：,第一步：根据约束条件画出可行域；,第二步：令,z,0,，画直线,l,0,；,第三步：观察，分析，平移直线,l,0,，,从而找到最优解；,第四步：求出目标函数的最大值或最,小值,.,解答线性规划问题的步骤：第一步：根据约束条件画出可行域；,例,2.,求,z,x,y,的取值范围，使式中的,x,、,y,满足约束,条件：,例2.求zxy的取值范围，使式中的x、y满足约束,例,3.,求,z,x,2,y,2,的最大值和最小值，使式中的,x,、,y,满足约束条件：,例3.求zx2y2的最大值和最小值，使式中的x、y,引例：,某工厂用,A,、,B,两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用,4,个,A,配件耗时,1h,，每生产一件乙产品使用,4,个,B,配件耗时,2h,，该厂最多可从配件厂获得,16,个,A,配件和,12,个,B,配件，按每天工作,8h,计算，若生产一件甲产品获利,2,万元，生产一件乙产品获利,3,万元，采用哪种生产安排利润最大？,引例： 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件,解：设甲、乙两种产品分别生产,x,、,y,件，由已知条件可得二元一次不等式组：,将不等式组表示的平面区域画出如图所示：,解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次,设生产甲产品,x,乙产品,y,件时，工厂获得的利润为,z,则,z,=2,x,+3,y,即：生产甲产品,4,件，乙产品,2,件时，利润最大为,14万,元,设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+,解：设需截第一种钢板,x,张，第二种钢板,y,张，共需截这两张钢板,z,张，则目标函数为：,课本P89 例6,画出可行域，如图,0,2,4,6,8,10,y,12,14,16,18,18,10,12,14,16,20,22,26,24,6,4,8,x,2,28,B(3,9),C(4,8),解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截这两张钢板z,简单的线性规划问题（一）课件,5,0,1,2,3,4,6,7,1,2,3,4,5,9,8,-1,-2,-3,x,y,A,B,C,如图所示：,当直线旋转到,A,点时，斜率最大,当直线旋转到,C,点时，斜率最小,501234671234598-1-2-3xyABC如图所示,0,1,2,4,1,2,-1,x,y,3,012412-1xy3,小结：,目标函数类型：,截距型,斜率型,距离型,小结：目标函数类型：截距型斜率型距离型,