力学竞赛资料运动学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,图示曲线为一旋轮线，其参数,R,为已知。图中,M,点处的曲率半径为,.,答案：,1.,v/l,2.A,、,B,的轨迹均为旋轮线（或称摆线、圆滚线）,3.,mv,2,/2l,解题思路同“杆的下落,.doc,”,题：在录音机或连续印刷机中，磁带（或纸张）以匀速,v,运动。设以,r,表示磁带盘（纸筒）的半径，,b,表示磁带的厚度。试导出磁带盘角加速度的表达式。,解：设初始时纸筒半径为,r,0,，在任一瞬时,t,纸筒半径为,r,，角速度为,w,，纸筒已转过的圈数为,n,，,(,不一定为整数）则有,因,v,和,b,为常量，故有,又因,所以,角加速度,巩固题：,一张致密光盘（,CD,）音轨区域的内半径,R,1,=2.2,c,m,，外半径为,R,2,=5.6cm,，径向音轨密度,N=650,条,/mm,。在,CD,唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以,v=1.3m/s,的恒定速度运动的。问：（,1,）这张光盘全部放音时间是多长？（,2,）激光束到达离盘心,R=5.0cm,处时，光盘转动的角速度和角加速度是多少？,答：（,1,）,69.4 min,（,2,）,题,AC,、,BD,两杆各以匀角速度,w,分别绕距离为,l,的,A,、,B,轴作定轴转动，转向如图。小圆环,M,套在,AC,及,BD,杆上。在某一瞬时,a,=,b,=60,，求小圆环,M,在任意瞬时的速度和加速度。,题,AC,、,BD,两杆各以匀角速度,w,分别绕距离为,l,的,A,、,B,轴作定轴转动，转向如图。小圆环,M,套在,AC,及,BD,杆上。在某一瞬时,a,=,b,=60,，求小圆环,M,在任意瞬时的速度和加速度。,向垂直于,AC,方向投影：,解,1,：,方向：与,x,轴正向之间的夹角为,2,a,+60,求得：,同理可求加速度。,题,AC,、,BD,两杆各以匀角速度,w,分别绕距离为,l,的,A,、,B,轴作定轴转动，转向如图。小圆环,M,套在,AC,及,BD,杆上。在某一瞬时,a,=,b,=60,，求小圆环,M,在任意瞬时的速度和加速度。,解,2,：,因,所以,M,点的运动轨迹为一圆周，圆心为,O,不难算出圆的半径,因,AOE,为空间固定直线，所以,例,如图，两辆汽车均匀速前进。,A,车沿直线行驶，,B,车沿圆周行驶。,OA,=,x,0,-,v,A,t,=,t,，,x,0,=3000m,v,A,=10m/s,=,0.05rad/s,圆周,半径,R,=1000m,，求,：（,1,）,t=0,瞬时,A,车上的乘客看到的,B,车的相对速度；,（,2,）,t=0,瞬时,B,车上的乘客看到的,A,车的相对速度,。,A,R,B,O,A,R,B,O,例,5,OA,=,x,0,-,v,A,t,=,t,，,x,0,=3000m,v,A,=10m/s,=,0.05rad/s,R=1000m,，求,：,t=0,瞬时：,(1),A,车上的乘客看到的,B,车的相对速度；,(2)B,车上的乘客看到的,A,车的相对速度,。,解：,（,1,）求,t=0,瞬时,B,车上的乘客看到的,A,车的相对速度,1,、选择动点与动系,2,、分析三种运动和速度,4,、求解未知量,3,、作速度平行四边形，如图。,动点,A,车；,动系固结于,B,车上；,绝对运动沿,OA,的直线运动,相对运动规律未知,牵连运动,车,B,绕,O,的定轴转动,R,A,B,O,例,5,OA,=,x,0,-,v,A,t,=,t,，,x,0,=3000m,v,A,=10m/s,=,0.05rad/s,R=1000m,，求,：,t=0,瞬时：,(1),A,车上的乘客看到的,B,车的相对速度；,(2)B,车上的乘客看到的,A,车的相对速度,。,解：,（,2,）求,t=0,瞬时,A,车上的乘客看到的,B,车的相对速度,1,、选择动点与动系,2,、分析三种运动和速度,4,、求解未知量,3,、作速度平行四边形，如图。,动点,B,车；,动系固结于,A,车上；,绝对运动以,R,为半径的圆周运动,相对运动规律未知,牵连运动,车,B,的直线平动,R,A,B,O,例,5,OA,=,x,0,-,v,A,t,=,t,，,x,0,=3000m,v,A,=10m/s,=,0.05rad/s,R=1000m,，求,：,t=0,瞬时：,(1),A,车上的乘客看到的,B,车的相对速度；,(2)B,车上的乘客看到的,A,车的相对速度,。,讨论：,R,A,B,O,（,1,）由计算结果：,可知：,在不同车上观察到的相对速度截然不同。,讨论：,A,B,（,2,）更进一步，可编程作出两车乘客所观察到的相对运动轨迹。,R,O,x,y,动点为,A,，动系固结在,B,车时：,讨论：,A,B,R,O,x,y,动点为,B,，动系固结在,A,车时，,相对运动轨迹为：,题：,设,Oxy,是固定坐标系。系统由三根不计半径的细杆构成，初始时刻,CD,杆沿,z,轴；,OB,杆长为,a,，沿,x,轴正方向；,AB,杆长为,l,，开始时先与,z,轴平行，绕,x,轴负方向转动,角后，把这三根杆件焊成一个整体，如图所示。假设在,yz,平面内有一张纸存在，为了能让系统持续地绕,z,轴以匀角速度,转动，需要在纸上挖出某种形状的空隙让,AB,杆通过（这里只考虑,AB,杆）。,（,1,）如果,a,=0,，求空隙的函数表达式,0,，并画出示意图。,（,2,）如果,a,0,，求空隙的函数表达式,a,，并画出示意图。,0,与,a,有何关系？,（,3,）当,a,0,时，设,P,是,AB,杆与,yz,平面的交点，当点,P,位于,AB,杆中点且,y,P,0,时，如果要求,P,点的速度和加速度，你如何考虑？取,a,=1m,，,l,=4m,，,=/6,，,=1rad/s,，速度和加速度是多少？,初始时刻的系统位置,P,点轨迹是双曲线（的一部分），,（,3,）设,P,是,AB,杆与,yz,平面的交点，当点,P,位于,AB,杆中点且,y,P,0,时，求,P,点的速度和加速度？取,a,=1m,，,l,=4m,，,=/6,，,=1rad/s,（,3,）求,P,点的加速度？取,a,=1m,，,l,=4m,，,=/6,，,=1rad/s,分离变量积分，易得：,轨迹为对数螺线,题,.,三名舞蹈演员在舞台上（视作平面上三点）组成一正三角形。音乐一开始，每一演员即朝向右侧的另一演员以常速率,v,缓慢前进。问演员走过的轨迹是什么曲线？求某点处的曲率半径。,解,:,设三名演员初始时位于,A,0,、,B,0,、,C,0,，他们之间的距离为,a,任意瞬时他们的位置如图。知，三角形,ABC,仍是正三角形,动系：绕,O,做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度相同,动点：,A,绝对运动：未知曲线，但,v,a,的大小和方向均已知,牵连运动：定轴转动,相对运动：直线运动,动系：绕,O,做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度相同,动点：,A,？,0,？,0,式（,*,）向,x,轴投影,题,.,绕铅直轴以等角速度,w,缓慢旋转的封闭圆舱中，站在舱底盘的实验者感不到自己的运动，但抛出的小球的运动却不服从牛顿运动定律。设实验者站立处,A,距底盘旋转中心,O,的距离为,r,，请你替他设计一个抛球的初速度（大小,v,O,，方向与,OA,的夹角为,a,），使得球抛出后能返回来打到实验者身上。试写出,v,O,，,a,应满足的条件，画出小球相对轨迹示意图（不考虑小球在铅垂方向的运动，例如，认为小球在光滑的舱底盘上运动）。,解,:,(1),在定坐标系中考虑问题。小球以绝对速度,v,沿直线,A B,运动，如果小球到达,B,时，实验者也随底盘沿着 弧线到达,B,，则小球打在实验者身上。,解,:(2),条件为,给定,q,，即可求出,v,，即问题有多解。当给定,v,q,时，可用速度合成定理求相对速度,v,O,及方向,a,。,(3),小球相对轨迹示意如图,.,题：,如图,AB,杆的,A,端沿圆槽,O,运动,B,端与轮轴铰接。轮轴沿直线轨道只滚不滑。圆槽,O,半径为,R,，轮轴内外半径分别为,R,1,、,R,2,。,AB,长为,L,。图示瞬时，已知,A,点速度,v,A,，,AB,杆中点,M,的切向加速度为零。则此瞬时：,（,l,）,P,点的速度,v,P,大小为,。,（,2,）,M,点的加速度大小为,。,题,.,在运动学中，轨迹是个重要概念，但简单机构也可能有复杂的轨迹曲线。如图，小齿轮O,1,在大齿轮O内作纯滚动。其中大齿轮半径为R，小齿轮半径为r,E是小齿轮上的偏心点，偏心距为e。求小齿轮上偏心点E的轨迹。并讨论轨迹的特点。,解：,讨论：,（a）若,x,为无理数，则轨迹曲线不封闭；,（b）若,x,为有理数，则轨迹曲线封闭。进一步，设 ，m，n为不可约自然数，则曲线的周期为,2,n,p,。或小齿轮转n 圈后曲线重合。并且曲线有m个尖点或花瓣；,（,c,）,h,=1时曲线有尖点。,h,1时尖点变为圆凸，,h,l时曲线的尖点变为花瓣。,h,=0时曲线为圆；,（d）,x,=,2，,h,=,1时曲线退化为直线。,x,=,1，曲线退化为一个点。,运动学反问题：,1,、设计一个机构，使其能画出一条直线（可参考上例讨论,d,）,2,、设计一个机构，使其能画出一个椭圆,（哈工大理论力学第,7,版例,5-1,）,3,、设计一个机构，使其能画四叶玫瑰线（下图）：,（可参考上例讨论,b,）,