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专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 【核心素养分析】1.理解命题的概念。2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。4.重点考查数学抽象、逻辑推理能力的核心素养。【知识梳理】知识点一 命题及其关系1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系知识点二 充分条件与必要条件1充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp【特别提醒】1充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件2一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于【典例剖析】高频考点一 四种命题及其相互关系例1、（2020福建三明一中模拟）命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21或x1D若x1或x1，则x21【答案】D【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x21，则1x1”的逆否命题是“若x1或x1，则x21”故选D.【规律方法】由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题。【变式探究】（2020浙江杭州十四中模拟）有下列四个命题，其中真命题是()“若xy1，则lg xlg y0”的逆命题；“若abac，则a(bc)”的否命题；“若b0，则方程x22bxb2b0有实根”的逆否命题；“等边三角形的三个内角均为60”的逆命题A BC D【答案】B【解析】“若xy1，则lg xlg y0”的逆命题为“若lg xlg y0，则xy1”，该命题为真命题；“若abac，则a(bc)”的否命题为“若abac，则a不垂直(bc)”，由abac可得a(bc)0，据此可知a不垂直(bc)，该命题为真命题；若b0，则方程x22bxb2b0的判别式(2b)24(b2b)4b0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；“等边三角形的三个内角均为60”的逆命题为“三个内角均为60的三角形为等边三角形”，该命题为真命题综上可得，真命题是.故选B.高频考点二 充分条件与必要条件的判断例2、(1)(2019高考天津卷)设xR，则“x25x0”是“|x1|1”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2019高考北京卷)设函数f(x)cos xbsin x(b为常数)，则“b0”是“f(x)为偶函数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】(1)B(2)C【解析】(1)由x25x0可得0x5，由|x1|1可得0x2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x25x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件(2)b0时，f(x)cos x，显然f(x)是偶函数，故“b0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(x)f(x)，即cos(x)bsin(x)cos xbsin x，又cos(x)cos x，sin(x)sin x，所以cos xbsin xcos xbsin x，则2bsin x0对任意xR恒成立，得b0，因此“b0”是“f(x)是偶函数”的必要条件因此“b0”是“f(x)是偶函数” 的充分必要条件，故选C.【规律方法】充要条件的判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【变式探究】（2020吉林长春外国语学校模拟）设xR，则“2x0”是“(x1)21”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】2x0，则x2，(x1)21，则1x11，即0x2，据此可知，“2x0”是“(x1)21”的必要不充分条件高频考点三 充分条件、必要条件的应用例3、（2020湖南株洲二中模拟）已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件，求实数m的取值范围。【解析】由x28x200，得2x10，Px|2x10.xP是xS的必要条件，则SP.解得m3.又S为非空集合，1m1m，解得m0.综上，m的取值范围是0，3. 【方法技巧】根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.【变式探究】（2020山西平遥中学模拟）若关于x的不等式|x1|a成立的充分条件是0x4 ，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba3 Da3【答案】D【解析】|x1|aax1a1ax1a，因为不等式|x1|a成立的充分条件是0x4，所以(0，4)(1a，1a)，所以a3，故D正确。
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