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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,求解流程图,微分方程,求解,总结,1.,折线积分,2.,凑全微分,3.,定积分,转为,z,的一阶线性,关于,u,一阶,二阶变系数,二阶,一阶,二阶常系数,解的结构,P338,P348,一、一阶微分方程求解,1.,一阶,标准,类型方程求解,关键,:,辨别方程类型,掌握求解步骤,2.,一阶,非标准,类型方程求解,(1),变量代换法,代换,自变量,代换,因变量,代换,某组合式,(2),积分因子法,选积分因子,解全微分方程,四个标准类型,:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,例,1.,求下列方程的通解,提示,:,(1),故为分离变量方程,:,通解,1,、一阶标准类型,方程两边同除以,x,即为齐次方程,令,y=u x,化为分,离变量方程,.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解,.,化为,方法,1,这是一个齐次方程,.,方法,2,化为微分形式,故这是一个全微分方程,.,例,2.,求下列方程的通解,:,提示,:,(1),令,u=x y,得,(2),将方程改写为,(,伯努利方程,),(,分离变量方程,),原方程化为,二、非标准类型：,令,y=u t,(,齐次方程,),令,t=x,1,则,可分离变量方程求解,化方程为,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解,:,例,3.,设,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),其中函数,f,(,x,),g,(,x,),在,(,+),内满足以下条件,:,(1),求,F,(,x,),所满足的一阶微分方程,;,(2),求出,F,(,x,),的表达式,.,解,:(1),所以,F,(,x,),满足的一阶线性非齐次微分方程,:,(2),由一阶线性微分方程解的公式得,于是,二、两类二阶微分方程的解法,1.,可降阶微分方程的解法,降阶法,令,令,逐次积分求解,2.,二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤,:,(1),写出相应的特征方程,(2),求出特征方程的两个根,(3),根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解,求解二阶常系数线性方程,非齐,通解,齐次通解,非齐特解,难点：,如何求特解？,方法：,待定系数法,.,(3).,上述结论也可推广到高阶方程的情形,.,解答提示,P353,题,2,求以,为通解的微分方程,.,提示,:,由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P353,题,3,求下列微分方程的通解,提示,:,(6),令,则方程变为,特征根,:,齐次方程通解,:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若,(7),中非齐次项改为,提示,:,原方程通解为,特解设法有何变化,?,P354,题,4(2),求解,提示,:,令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时,正负号如何确定,?,思考,:,设,提示,:,对积分换元,则有,解初值问题,:,答案,:,
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