逻辑代数2优秀文档

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,逻辑代数,二进制数中的“1”和“0”不仅能够表示二进制数，还可以表示许多对立的逻辑状态。在分析和设计数字电路时，所用的数学工具是逻辑代数，又称布尔代数。,2.1.1 基本定律,分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。如证明反演律：,2.1.2 常用公式,（4）公式,AB,+,BCD,=,AB,+,证明：,AB,+,BCD,=,AB,+,BC,+,BCD,=,AB,+,BC,(1+,D,),=,AB,+,BC,=,AB,+,=,AB,(1+,C,)+(1+,B,),=,AB,+,（1）公式,AB,+=,A,证明：,AB,+=,A,(,B,+)=,A,1=,A,（2）公式,A,+=,A,+,B,证明：,A,+=(,A,+)(,A,+,B,)=,A,+,B,（3）公式,AB,+,BC,=,AB,+,证明：,AB,+,BC,=,AB,+(,A,+),BC,=,AB,+,ABC,+,BC,例如，已知等式 ，用函数Y,=,BC代替等式中的B，根据代入规则，等式仍然成立，即有：,（1）代入规则：,在逻辑等式中，若将等式两边所出现的同一变量以一个逻辑函数代换后，该逻辑等式仍然成立。,（2）反演规则：,对于任意一个逻辑函数,Y,，若将表达式中所有的,“,”换成“,+,”，“,+,”换成“,”，“,0,”换成“,1,”，“,1,”换成“,0,”，原变量换成反变量，反变量换成原变量,，那么所得到的新的逻辑函数表达式就是原函数,Y,的反函数,Y,。,例如：,2.1.3 基本规则,注意,：a、保持原来的运算优先级。b、,不是单个逻辑变量上的“非”号，均应保持不变。,（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而,变量保持不变,，则可得到的一个新的函数表达式Y,，Y,称为函Y的对偶函数。例如：,对偶规则的意义,：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：,一、逻辑函数化简的意义,：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。,2.1.4 化简,二、逻辑函数式的几种常见形式和变换。,一个逻辑函数的表达式可以有以下5种表示形式。,（1）乘积项个数最少；,（2）每个乘积项中的变量个数也最少。,三、逻辑函数的最简与或式,2.1.5 代数化简法,逻辑函数的代式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。,1、并项法,利用公式1，将两项合并为一项，并消去一个变量。,2、吸收法,（）利用公式，,吸收掉,AB,这一项,。,例如：,（）利用公式，消去多余的因子。,3、消去法,4、配项法,利用重叠律,A,+,A,=,A,来配项，以获得更加简单的化简结果，,例如：,【例,1-16,】化简函数,Y,=,2.2.1,逻辑函数的最小项,2.2.2,卡诺图化简逻辑函数,2.2,逻辑函数的卡诺图化简,2.2.3,具有约束项的逻辑函数的化简,2.2.1 逻辑函数的最小项,1最小项的定义,在,n,变量的逻辑函数中，如果一个乘积项含有,n,个变量，而且每个变量以原变量或以反变量的形式在该乘积项中仅出现一次，则该乘积项称为,n,变量的最小项。,3个变量A、B、C可组成8个最小项：,对于,n,个变量来说，共有,2,n,个最小项。,注意,：,提到最小项时，一定要说明变量的数目，否则最小项将失去意义。例如，,ABC,对三变量的逻辑函数来说是最小项，而对于四变量的逻辑函数则不是最小项,。,【例1-16】化简函数Y=,即在画图时，既可把“”视作1，也可视作0，这完全取决于对化简是否有利。,这些不会出现的变量取值组合所对应的最小项就是约束项。,另外对约束条件画圈，可画2个包含4个方格的圈，可得约束条件的最简式为：,（3）在卡诺图中，用叉号“”表示，即在各约束项对应的方格内填入“”，以区别于其他最小项。,当输入组合为0001（1）、0011（3）、0101（5）、0111（7）、1001（9）时，函数Y取值为0，其余输入组合均为约束项。,（3）在卡诺图中，用叉号“”表示，即在各约束项对应的方格内填入“”，以区别于其他最小项。,卡诺图中的每一个小方格都对应一个最小项，而任何一个逻辑函数均可用最小项表达式表示，那么只要把函数中包含的最小项在卡诺图中填1，没有的项填0（或不填），就可得到用卡诺图表示的逻辑函数。,1 逻辑函数的最小项,（4）公式 AB+BCD=AB+,=AB+,（1）乘积项个数最少；,一、逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。,为便于叙述和书写，通常都要对最小项进行编号。编号的方法是，把使最小项为,1,的那一组变量取值组合视为二进制数，与其对应的十进制数，就是该最小项的编号。,3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：,2最小项的编号,3逻辑函数的最小项表达式,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,逻辑函数最小项表达式可由真值表直接写出，并且和真值表一样，也具有惟一性，即一个逻辑函数只有一个最小项表达式。,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,ABC,ABC,ABC,对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABBC来配项展开成最小项表达式。,2.2.2 卡诺图化简逻辑函数,1卡诺图的画法,在有,n,个变量的逻辑函数中，如果两个最小项中只有一个变量不相同（互为反变量），而其余变量都相同，则称这两个最小项为,逻辑相邻项,。,几何位置相邻,是指：上、下、左、右紧挨着的小方格；或每一行、每一列的首尾两个小方格。,卡诺图是一种能够直观地表示出,n,变量全部最小项的逻辑相邻关系的方格图。卡诺图利用小方格代表最小项，并按照,任何两个逻辑相邻的最小项所处的小方格的几何位置相邻,的原则画出。,图1-14 二变量卡诺图,(a),基本形式；,(b),简化形式,图1-15 三、四变量卡诺图,(a)三变量卡诺图；(b)四变量卡诺图,2逻辑函数卡诺图表示法,卡诺图中的每一个小方格都对应一个最小项，而任何一个逻辑函数均可用最小项表达式表示，那么只要把函数中包含的最小项在卡诺图中填,1,，没有的项填,0,（或不填），就可得到用卡诺图表示的逻辑函数。,例如，函数,Y,(,A,B,C,)=(2,3,6),的卡诺图如图所示。,若方格对应的最小项存在，则在方格内填1，不存在不填。,这些不会出现的变量取值组合所对应的最小项就是约束项。,2逻辑函数卡诺图表示法,（2）公式 A+=A+B,另外对约束条件画圈，可画2个包含4个方格的圈，可得约束条件的最简式为：,证明：AB+=A(B+)=A1=A,=AB(1+C)+(1+B),卡诺图中的每一个小方格都对应一个最小项，而任何一个逻辑函数均可用最小项表达式表示，那么只要把函数中包含的最小项在卡诺图中填1，没有的项填0（或不填），就可得到用卡诺图表示的逻辑函数。,对偶规则的意义：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。,两个最小项合并成一项时可以消去一个变量，四个最小项合并成一项时可以消去两个变量，八个最小项合并成一项时可以消去三个变量。,3 具有约束项的逻辑函数的化简,2约束条件的表示方法,（1）代入规则：在逻辑等式中，若将等式两边所出现的同一变量以一个逻辑函数代换后，该逻辑等式仍然成立。,将8个方格画圈（其中包含3个约束项），可得化简结果为：,（3）在卡诺图中，用叉号“”表示，即在各约束项对应的方格内填入“”，以区别于其他最小项。,3）一个方格可被多个圈公用，但每个圈内必须包含有新的方格。,逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1。,例如：,B 公共因子,B 公共因子,A 公共因子,3化简方法,在卡诺图中，凡是几何相邻的最小项均可合并，合并时可以消去取值不同的变量，留下取值相同的变量。两个最小项合并成一项时可以消去一个变量，四个最小项合并成一项时可以消去两个变量，八个最小项合并成一项时可以消去三个变量。2,n,个最小项合并成一项时可以消去,n,个变量。,消去互为反变量的因子，保留公因子。,【,例1-21,】,化简,Y,=(0,2,3,7,8,10,11,13,15)。,解：在四变量卡诺图中将,Y,=(0,2,3,7,8,10,11,13,15)的各最小项在相应位置填1，如图所示。,Y,=,CD,+,ABD,由例1-21可得如下结论：,（1）圈应该画得尽可能大，每个圈内包含的方格数应为2,n,个，即2、4、8、16。,（2）应注意四个角相邻，同一行（列）的首尾也是相邻的。,（3）在画圈时，每个方格可被重复使用，但每个圈中至少要包含一个新的方格。,4化简的一般步骤,（,1,）将逻辑函数用最小项形式表示，然后画出该函数的卡诺图。若方格对应的最小项存在，则在方格内填,1,，不存在不填。,（2）在卡诺图上将相邻最小项合并。,合并时应注意以下几点：,1）画圈的方格数必须是2,n,个（,n,=0，1，2，3，）。2）所画圈的数目应最少，每个圈内的方格数应尽可能多。3）一个方格可被多个圈公用，但每个圈内必须包含有新的方格。4）同一行（列）的首尾以及四个角为相邻。,（3）消去每个圈内取值不同的变量，据此把各个圈得到的与项相加（或）起来，便得到化简后的最简与或表达式。,2.2.3 具有无关项的逻辑函数的化简,函数可以任意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为约束项，也叫做无关项或任意项。,例如：用8421BCD码表示一位十进制数09作为输入时，输入端有,A,、,B,、,C,、,D,四位代码，它共有 2,4,=16种组合，实际只需要其中10个组合00001001，而1010、1011、1100、1101、1110、1111这6种组合是多余项，正常情况下，输入端是不会出现这6种取值情况的。这些不会出现的变量取值组合所对应的最小项就是约束项。,1约束项和约束条件,2约束条件的表示方法,（1）在真值表中，用叉号（,）表示，即在对应于约束项变量取值组合的函数值处，记上“,”，以区别于其他取值组合。,（2）在逻辑表达式中，用等于0的条件等式表示，例如，8421BCD码表示十进制数的约束条件是,（,3,）在卡诺图中，用叉号“”表示，即在各约束项对应的方格内填入“”，以区别于其他最小项。,或 d(10,11,12,13,14,15)=0,3有约束条件的逻辑函数的化简,利用卡诺图化简逻辑函数合并最小项时，可根据化简的需要，包含或去掉约束项。即在画图时，既可把“”视作,1,，也可视作,0,，这完全取决于对化简是否有利。这是因为各约束条件的取值恒为,0,，显然函数不会受影响。在函数化简中，合理利用约束项，可使逻辑函数化简结果更为简单。,【,例1-22,】,设计一个1位8421BCD码的偶数指示器，即当输入组合为0000（0）、0010（2）、0100（4）、0110（6）、1000(8)时，函数,Y,取值为1；当输入组合为0001（1）、0011（3）、0101（5）、0111（7）、1001（9）时，函数,Y,取值为0，其余输入组合均为约束项。,解：根据题意，可得函数,Y,的真值表，如表,1-18,所示。,由真值表，可写出函数的最小项表达式为：,Y,=(0,2,4,6,8)d(10,11,12,13,14,15),画出四变量卡诺图，对约束项打上“,”，如图1-20所示。也可由真值表直接转换为卡诺图。,卡诺图法化简逻辑函数比较直观、简便，也容易掌握。,卡诺图法化简逻辑函数比较直观、简便，也容易掌握。,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,b、不是单个逻