控制系统的时域数学模型(2)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 时域数学模型,微分方程,第二章 控制系统的数学模型,第一节 控制系统的时域数学模型,项 目,内 容,教 学 目 的,如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何建立控制系统的时域数学模型。,教 学 重 点,如何建立控制系统的时域数学模型。,教 学 难 点及 其 处 理,关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂，逐步分层次讲解。,数学模型的基本概念,数学、工程、控制三者的统一,中学时,的函数概念：,在,电路,的学习中对函数概念的理解：,自动控制系统,对函数概念的理解：,研究对象的复杂程度加深,一 引 言,同样的,x,和,y,，在不同的课程学习中，思维方式发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的概念；在电路和控制系统中增加了人的因素。可以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题，可以通过机械工程控制基础课程把数学、机械工程、控制三者联系统一起来。,学习机械工程控制基础的思维方式：,数学的方法，机械工程的意识，控制的语言。,数学模型的定义,：能够描述控制系统输出量和输入量数量关系的表达形式。,实际物理系统,理想化,物理模型,数学化,数学模型,线性化,线性数学模型,无量纲化,可用数学模型,标准化,标准数学模型,按输入输出的表达形式,数学模型的分类,微分方程（时间域）,传递函数（复数域）,动态结构图（各元件传函的连接关系）,响应曲线（,step,、,pulse,）,频率特性（,bode,图、,nyquist,图、,nichols,图）,状态变量形式,分析法,:,是根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构已知的常用此法。,试验法,:,对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。,数学模型建立（建模）的方法,无论是用分析法还是用实验法建立模型，都存在模型精度和复杂性之间的矛盾。即描述系统运动特性的数学模型越精确，则方程的阶次越高，对系统的分析与设计越困难。所以，在控制工程上总是在满足分析精度要求的前提下，尽量使数学模型简单，为此在建立数学模型时常做许多假设和简化，最后得到的是有一定精度的近似模型。这点与其他课程不同。,单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程的一般形式为：,式中，,c,(t,),是输出量；,r,(t,),是输入量。为了所表示系统的可实现性，一般限定 。,微分方程的一般形式,二 时域数学模型,-,微分方程,建立系统,(,或元件,),的微分方程的一般步骤,1,、根据系统,(,或元件,),的工作原理，确定其输入量和输出量；,2,、按照系统中元件所遵循的科学规律,(,物理或化学定律等,),，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组；,3,、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程；,4,、标准化。,例,1,对下图,RC,无源网络，列写以,u,i,(t,),为输入量，,u,o,(t,),为输出量的网络微分方程式。,电气系统,(1),由,KVL,，得,又因为,(2),消去中间变量,i,(t,),(3),标准化,解：,例,2,对两级,RC,无源网络，列写以,u,i,(t,),为输入量，,u,o,(t,),为输出量的网络微分方程式。,对,L1,，由,KVL,得,对,L2,，由,KVL,得,列出各元件的输入变量和输出变量的关系式,R,1,：,R,2,：,C,1,：,C,2,：,解：,或,式中：,提醒注意,上题中如果把第一级电路的输出看作是第二级电路的输入，直接利用例,1,的结论，可列方程如下：,消去中间变量,u,c1,(t),，得：,原因：后级电路的电流,i,2,影响前级电路的输出电压,u,c1,(t),。,负载效应,机械系统,弹簧,质量,阻尼器系统,图,2-1,表示一个弹簧,质量,阻尼器系统。当外力,f(t),作用时，系统产生位移,y(t),，,要求写出系统在外力,f(t),作用下的运动方程式。,f(t,),是系统的输入，,y(t),是系统的输出。列出的步骤如下：,（,1,）运动部件质量用,M,表示,.,（,2,）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有：,图,2-1,弹簧,质量,阻尼器系统,（,3,）,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有：,式中,f,1,(,t,),阻尼器阻力；,f,2,(,t,),弹簧力。,(,2.2,),式中,B,阻尼系数。,设弹簧为线性弹簧，则有：,f,2,(t)=K,y(t,),(,2.3,),式中,K,弹性系数。,(2.1),（,4,）将式,(2.2),和式,(2.3),代入式,(2.1),，得系统的微分方程式,:,式中,M,、,B,、,K,均为常数，此机械位移系统为线性定常系统。,式,(2.4),还可写成,:,(,2.4,),(2.4a),则有,(,2.4,b),令,机械力学系统的数学模型：,相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。,提醒注意,两级滤波电路网络的数学模型：,相似系统,例,图示为电枢控制式直流电机原理图，设 为电枢两端的控制电压，为电机旋转角速度，为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下，为给定输入，为干扰输入，为输出。系统中,e,d,为电动机旋转时电枢两端的反电势；为电动机的电枢电流；为电动机的电磁力矩。,机电系统微分方程：,(,1),输入变量为电压 ；输出变量为电机旋转角速度,;,中间变量,;,(2),根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为,式中，,L,，,R,分别为电感与电阻。当磁通固定不变时，与转速 成正比，即,式中，为反电势常数。这样（,2.1.5,）式为,根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为,(2.1.5),(2.1.6),(2.1.7),式中，,J,为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即,式中，,k,m,为电动机电磁力矩常数,（,3,）消除中间变量,将（,2.1.8,）式代入（,2.1.7,）式得,上式略去了与转速成正比的阻尼力矩。,应用（,2.1.6,）式和（,2.1.9,）式消去中间变量,i,a,，,可得,令 ，,则上式为,式（,2.1.11,）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速,既由,u,a,控制，又受,M,L,影响。,(,2.1.8,),(,2.1.9,),(2.1.10),(2.1.11),二微分方程的增量化表示,前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。,(1),电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程：,此时，对应输入输出量可表示为：,则有,这就是系统的稳态。,（,2.1.12,）,（,2.1.13,）,（,2,）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为：,则式（,2.1.11,）可记为：,考虑到 ，上式可变为,2.14,式的意义是：对于定值控制系统，总是工作在设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。,(2.1.14),三非线性微分方程的线性化,某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。图,2.1.3,是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题,。,(1),输入变量为阀心位移,x,；输出变量为活塞位移,y;,中间变量,(2),按照液压原理建立动力学方程,负载动力学方程为,流量连续性方程为,q,与,p,一般为非线性关系,(2.1.15),(2.1.16,),(2.1.17),（,3,）线性化处理,将,(2.17),在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有：,式中,则,(2.18),可以写成,当系统在预定工作条件 ，下工作 即分别为,q,x,p,故（,2.1.19,）可以写为,(2.1.18),(,2.1.19,),(,2.1.20,),（,4,）消除中间变量,由,(2.20),可得,整理后可得线性化后的动力学方程为：,(2.1.21),(2.1.22),图,2.1.4,q,p,x,三者线性关系,小偏差线性化时要注意以下几点：,（,1,）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的值均为零,（,2,）如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。,（,3,）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。,（,4,）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。,建立系统,(,或元件,),的微分方程的一般步骤,1,、根据系统,(,或元件,),的工作原理，确定其输入量和输出量；,2,、按照系统中元件所遵循的科学规律,(,物理或化学定律等,),，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组；,3,、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程；,4,、标准化。,小结,非线性数学模型线性化,严格地说实际的物理元件都存在一定的非线性，例如：,弹簧系数是位移的函数,并非常值。,电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关,电动机本身的摩擦、死区,在平衡状态点运用台劳级数展开为,小偏差线性化法,P,27,设连续变化的非线性函数,平衡状态,A,为工作点,具有两个自变量的非线性函数的线性化,增量线性方程,P,28,例题,2-7,