大学物理切向加速度和法向加速度

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,法向加速度,一、自然坐标系,问题的提出：,在直角坐标系中，加速度公式无法看出哪一部分是由,速度大小变化,产生的加速度，哪一部分是由,速度方向变化,产生的加速度，所以引入自然坐标系来描写。,1,.自然坐标系,自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的，有两个坐标轴，,切向坐标,和,法向坐标,。,2切向加速度、法向加速度/一、自然坐标系,切向坐标,沿运动轨迹的切线方向；,法向坐标,n,沿运动轨迹的法线方向。,二、切向加速度、法向加速度,物体沿平面作曲线运动，速度变化为 建立自然坐标系。,2切向加速度、法向加速度/二、,a,、,a,n,将,分解为,和,其中,切线方向的单位矢量；,法线方向的单位矢量。,（1）,为速度增量在切线方向的分量；,为速度增量在法线方向的分量；,A,B,v,A,v,B,v,A,2切向加速度、法向加速度/二、,a,、,a,n,有,即,其中：,由于速度,大小,变化产生的加速度；,由于速度,方向,变化产生的加速度。,将（,1,）式两边同除,后取极限，,2切向加速度、法向加速度/二、,a,、,a,n,由加速度的定义有,A,B,v,A,v,B,v,A,d,d,s,P,P,d,对任意曲线，有：,对于平面曲线运动,大小,2切向加速度、法向加速度/二、,a,、,a,n,为运动轨迹的曲率半径,。,挑战：证明以上两式,例：,一质点作半径为,R,的圆周运动，其速率满足 ，,k,为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。,解：,切向加速度,法向加速度,加速度,2切向加速度、法向加速度/二、,a,、,a,n,讨论下列几种运动情况：,1,.,匀速直线运动；,2,.,匀变速直线运动；,3,.,匀速率圆周运动；,4,.,变速曲线运动；,2切向加速度、法向加速度/二、,a,、,a,n,解：,例：手球运动员以初速度v,0,与水平方向成,0,角抛出一球，如图所示。当球到达M点处，与水平线夹角为，求(1)球在M点速度的大小；(2)球在M点处的切向加速度和法向加速度大小；(3)M点处的曲率半径。,想一想：何处曲率半径最大？何处最小？,二.圆周运动的角量描述,o,x,y,A：t,B：t+,t,设质点在o,x,y平面内绕o点、沿半径为R的轨道作圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的,角位置为,角位移为,规定反时针为正,平均角速度为,角速度为,角加速度,为,为何不用矢量？,角 速 度 的 单位：弧度/秒(rads,-1,)；,角加速度的单位：弧度/平方秒(rad s,-2,)。,讨论：,(1)角加速度,对运动的影响：,等于零，质点作匀速圆周运动；,不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动；,随时间变化，质点作一般的圆周运动。,(2),质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式为,与,匀变速直线运动的几个关系式,比较知：,两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题,。,R,O,x,三、线量与角量之间的关系,圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。,+,0,0,+,t,+,t,B,t,A,图示 一质点作圆周运动：,在,t,时间内，质点的角位移为,，则,A、B,间的,有向线段与弧将满足下面的关系,两边同除以,t,，得到速度与角速度之间的关系：,将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：,将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：,法向加速度也叫向心加速度。,例题,计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。,解：,地球自转周期T=246060 s，角速度大小为：,如图，地面上纬度为的P点，在与赤道平行的平面内作圆周运动,其轨道的半径为,R,赤道,r,p,P点速度的大小为,P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为,方向：与过P点运动平面上半径为,R,的圆相切。,P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。,例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬3957,、,3112,和,2300,，则,三地的,v,和,a,n,分别为：,北京：,上海：,广州：,R,o,在,t,时刻，质点运动到位置 s 处。,s,s,解,：,先作图如右，,t,=0 时，质点位于,s,=0 的p点处。,P,（1）,t,时刻质点的总加速度的大小；,（2）,t,为何值时，总加速度的大小为,b,；,（3）当总加速度大小为,b,时，质点沿圆周运行了多少圈。,例题,一质点沿半径为R的圆周按规律,运动，,v,0,、b,都是正的常量。求：,（2）令,a,=b，即,R,o,s,（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:,（3）,当,a,=b 时，t=,v,0,/b，由此可求得质点历经,的弧长为,它与圆周长之比即为圈数：,R,o,s,得,