向量组间的线性关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,linear algebra！,第二节,一、线性相关与线性无关的概念,向量的 线性相关性,二、向量组的线性相关性的判别,三、,线性组合与线性表示,第三章,一、线性相关与线性无关的概念,一组不全为0的数,设,为,n,元向量组,，,如果存在,，,使,成立，,则称向量组,线性相关,。,否则称,线性无,。,关,定义1,若,线性无关,，,则对任意不全为0的数,，都有,即当且仅当,时，,式才成立,。,线性相关。,例1,即,例2,当向量组含两个非零向量时，,设,，,线性相关,与,对应分量成正比,与,即,与,的对应分量成比例,证明,线性相关,或,与,或,例3,对应分量不成比例，,线性无关。,对应分量成比例，,线性相关。,几何上说向量,共线。,例4,求证含有零向量的向量组必线性相关。,则此向量组必定线性相关。,证明,设向量组中,取数,必有,线性相关,线性相关.,即如果部分组线性相关，,则整体组也,线性相关,。,定理1,证明,线性相关，,因为,为0的数,使,成立，因此有,其中,不全为零。,线性相关。,则存在一组不全,线性无关,线性无关.,即：如果整体组线性无关，,则部分组也线性无关。,定理2,利用定理1，用反证法。,即：部分相关，整体相关！,整体无关，部分无关！,二、向量组的线性相关性的判别,下面分别对,数字,表示的具体向量组的线性相关性,和用,字母,表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。,1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别,已知,解,设有数,使得,例5,判别下列向量组的线性相关性,即,有,得同解方程组,得同解方程组,方程组的解,令,（,k,为任意实数）,由,得,此向量组线性相关。,小结,首先设有数,使得,归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。,用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，,第二步将,代入,得,齐次线性方程组。,方程组有非零解，,有,则称向量组,线性相关,。,方程组只有零解，,则称向量组,线性无关,。,下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性,的方法。,这是判别向量组线性相关性的主要方法。,定理3,有非零解,例6,线性相关,秩,判断,，,，,，,，,的线性相关性,.,（无关）,（只有零解）,）,（,秩,此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。,解,线性相关.,例7,判断下列向量组的线性相关性,解,线性无关.,解,线性相关.,推论2,设,m,元向量组中含有,n,个向量,当,nm,时，,此向量组必定,线性相关,。,推论1,当,m=n,时，即向量维数=向量个数时,线性相关,（线性无关）,向量组构成行列式的值为零，即,（1）,例8,判别下列向量组的线性相关性,含有零向量的向量组必线性相关,（2）,4个3维向量必线性相关,（3）,4个4维向量，用行列式（或化阶梯型矩阵）判别,。,二、向量组的线性相关性的判别（续）,2、,对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别,这种判别一般用定义法。,考虑,方程组只有零解，,试证向量组,整理得,即,证明一：,例9,也线性无关。,因为向量组 线性无关，所以必有,从而,线性无关。,设向量组,线性无关，,证明二:,从而,R（B）=R（A），,而向量组 线性无关，,所以,R（A）=3,R,（,B,）=3 可知向量组 也线性无关。,例10,证明,已知,证明,线性无关，,线性相关.,设存在数,已知,只有,线性无关，,使得,即,故向量组线性相关。,不全为零，,三、线性组合与线性表示,为,组合系数,.,称,设有,m,维向量组,如果存在一组数,则称,是向量组,的,线性组合,定义2,线性表示,。,称,可由,若,存在一组数,使得,观察四个向量之间的关系,有,例11,1、线性表示,因为,中每个向量都可由向量组本身,（2）向量组,线性表示，,（,1）零向量可由任一组向量线性表示。,（3）任一,m,元向量,都可由,m,元单位向量组,+,线性表示，,即,+,2、线性组合,其中至少有一个向量是其余,n,1,个向量的线性组合。,线性相关,证明,=：,线性相关，,不全为0的数,则存在一组,使,不妨设,，,则,即,是,的线性组合,定理4,组合，即存在一组数,使,线性相关.,不全为0，,由于,则,不妨设,是其余向量的线性,=,设,即,=,+,若,可由,线性表示，,即：,（1）,即非齐次线性方程组,有解。,定理5,设,是为,m,元（维）列向量组，,可由,线性表示,有解,其中,性质3,A,为,阵，,经过有限次的初等行变换为,B,则,A,的列向量组与,B,的列向量组有相同的线性关系。,例11,已知,问,是否可由,线性表示？,如能线性表示,解,设有数,就写出表达式.,使,有唯一解,例12,已知,问,是否可由,线性表示？,如能线性表示,解,设有数,就写出表达式.,使,同解方程组为,令,得,k,为任一常数,例13,判断,是否为向量组,的线性组合？,解,设,对矩阵,线性无关,，,线性相关，则,可由,A,线性表示且表法唯一。,定理6,已知向量组,线性相关，,线性无关。,证明,可由,线性表示,不可由,线性表示,故,线性无关，,线性表示。,可由,线性无关，,假设,可由,线性表示，,使,即存在,由,，,，,可由,线性表示，,可由,线性表示，,线性无关相矛盾。,与,代入上式，,证明,例14,作业,P168,1 2 6 7,