机械动力学之振动的基本理论

返回总名录,振动理论与应用,第1章 振动的基本理论,Theory of Vibration with Applications,Theory of Vibration with Applications,1,引 言,振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。,物理学知识的深化和扩展物理学中研究质点的振动；工程力学研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。,振动属于动力学第二类问题已知主动力求运动。,返回首页,Theory of Vibration with Applications,振动理论与应用,2,振动问题的研究方法与分析其他动力学问题相类似：,选择适宜的广义坐标；,分析运动；,分析受力；,选择适宜的动力学定理；,建立运动微分方程；,求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。,返回首页,引 言,Theory of Vibration with Applications,振动理论与应用,3,振动问题的研究方法与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。,研究振动问题所用的动力学定理：,矢量动力学基础中的动量定理；,动量矩定理；,动能定理；,达朗伯原理。,分析动力学基础中的拉格朗日方程。,返回首页,引 言,Theory of Vibration with Applications,振动理论与应用,4,振动概述,所考察的系统既有惯性又有弹性。,运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。,振动问题的共同特点,返回首页,Theory of Vibration with Applications,振动理论与应用,5,Theory of Vibration with Applications,返回首页,Theoretical Mechanics,第1章 振动的基本理论,1.1 振动系统,1.2 简谐振动,1.3 周期振动的谐波分析,1.4 非周期函数的连续频谱,目 录,6,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.1 振动系统,第1章 振动的基本理论,7,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.1 振动系统,振动系统一般可分为连续系统或离散系统。,具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程。,在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的准则将分布参数“凝缩”成有限个离散的参数，这样便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。由于所具有的自由度数目上的区别，离散系统又称为多自由度系统。,8,按系统的自由度划分：,振动问题的分类,单自由度,振动一个自由度系统的振动。,多自由度,振动两个或两个以上自由度系统的 振动。,连续系统,振动连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。,返回首页,振动概述,Theory of Vibration with Applications,1.1 振动系统,9,按系统特性或运动微分方程类型划分：,振动问题的分类,线性振动系统的运动微分方程为线性方程的振动。,非,线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.1 振动系统,10,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.1 振动系统,线性振动：相应的系统称为线性系统。,线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。,非线性振动：相应的系统称为非线性系统。,非线性振动的叠加原理不成立。,11,按鼓励特性划分：,振动问题的分类,自由振动没有外部鼓励，或者外部鼓励除去后，系统自身的振动。,受迫振动系统在作为时间函数的外部鼓励下发生的振动，这种外部鼓励不受系统运动的影响。,自激振动系统由系统本身运动所诱发和操作的鼓励下发生的振动。,参激振动鼓励源为系统本身含随时间变化的参数，这种鼓励所引起的振动。,返回首页,振动概述,Theory of Vibration with Applications,1.1 振动系统,12,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,第1章 振动的基本理论,13,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.1简谐振动的表示,1.用正弦函数表示简谐振动,用时间,t,的正弦（或余弦）函数表示的简谐振动。其一般表达式为,一次振动循环所需的时间,T,称为周期；单位时间内振动循环的次数,f,称为频率。,周期,T,的单位为秒（s），频率,f,的单位为赫兹（Hz），,圆频率 的单位为弧度/秒（rad/s）。,振幅,圆频率,初相位,14,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.1简谐振动的表示,图描述了用正弦函数表示的简谐振动，它可看成是该图中左边半径为,A,的圆上一点作等角速度 的运动时在,x,轴上的投影。,如果视,x,为位移，则简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间,t,的一阶和二阶导数，即,15,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.1简谐振动的表示,可见，假设位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，具有相同的频率。,在相位上，速度和加速度分别超前位移 和 。,重要特征:简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是与位移相反，始终指向平衡位置。,可得到加速度与位移有如下关系,16,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.1简谐振动的表示,旋转矢量,OM,的模为振幅,A,，角速度为圆频率 ，任一瞬时,OM,在纵轴上的投影,ON,即为简谐振动表达式,2.,用旋转矢量表示简谐振动,17,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.1简谐振动的表示,记 ,复数,复数,Z,的实部和虚部可分别表示为,简谐振动的位移,x,与它的复数表示,z,的关系可写为,3.,用复数表示简谐振动,18,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.1简谐振动的表示,由于,用复数表示的简谐振动的速度加速度为,也可写成,是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信息。用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。,19,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.2简谐振动的合成,1.,两个同频率振动的合成,有两个同频率的简谐振动,由于,A,1,、,A,2,的角速度相等，旋转时它们之间的夹角()保持不变，合矢量,A,也必然以相同的角速度 作匀速转动,20,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.2简谐振动的合成,由矢量的投影定理,A=A,1,+,A,2,即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频率与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。,21,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.2简谐振动的合成,2,、两个不同频率振动的合成,有两个不同频率的简谐振动,有理数,22,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.2简谐振动的合成,当频率比为有理数时，合成为周期振动，但不是简谐振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。,合成的周期,若 与 之比是无理数，则无这样一个周期。其合成振动是非周期的。,若 ，对于 ，则有,23,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.2简谐振动的合成,令,式中的正弦函数完成了几个循环后，余弦函数才能完成一个循环。这是一个频率为 的变幅振动，振幅在2,A,与零之间缓慢地周期性变化。,它的包络线,24,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.2 简谐振动,1.2.2简谐振动的合成,这种特殊的振动现象称为“拍”，或者说“拍”是一个具有慢变振幅的振动,拍频,25,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振动的谐波分析,第1章 振动的基本理论,26,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振动的谐波分析,周期振动,展成傅氏级数,一个周期,T,中的平均值,n,=1,2,3,n,=1,2,3,基频,27,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振动的谐波分析,一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。,在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析,周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。,周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。,28,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振动的谐波分析,函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。,这种分析振动的方法称为频谱分析。,由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。,这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。,29,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振动的谐波分析,周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振动。,例1.1 已知一周期性矩形波如下图，试对其作谐波分析。,解矩形波一个周期内函数,F,(,t,)可表示为,表示,F,(,t,)的波形关于,t,轴对称，故其平均值为零。,30,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.3 周期振动的谐波分析,n,=1，2，3,于是，得,F,(t)的傅氏级数,F,(,t,)是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。,F,(,t,)的幅值频谱如下图。,31,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函数的连续频谱,第1章 振动的基本理论,32,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函数的连续频谱,函数,f,(,t,)的傅氏积分公式,f,(,t,)的傅氏变换,的傅氏逆变换,又称非周期函数,f,(,t,)的频谱函数。频谱函数的值一般是复数。,连续频谱,f,(,t,),称为非周期函数,33,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函数的连续频谱,例1-2 试求图所示的单个矩形脉冲的频谱图形。,可求得频谱函数,f,(,t,)的傅氏积分为,解:,f,(,t,)可表示为,34,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1.4 非周期函数的连续频谱,其振幅频谱,频谱图,傅氏积分和变换，是研究瞬态振动与随机振动的重要工具。实际应用时，可使用计算机运算或应用各种快速傅氏分析仪器(FFT)。,35,谢谢,36,演讲完毕，谢谢观看！,