多面体欧拉定理的发现g

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多面体欧拉定理的发现,二、多面体欧拉公式的发现,问题1：观察以下五个多面体的顶点数,V、,面数,F、,棱数,E,各是多少？它们之间有没有什么关系？,二、多面体欧拉公式的发现,问题2：是否所有的多面体的顶点数,V、,面数,F,和棱数,E,都满足,V+F-E=2？,我们再看看下面的3个多面体，它们的顶点数,V、,面数,F,和棱数,E,又是多少？,二、多面体欧拉公式的发现,问题3：什么样的多面体的顶点数,V、,面数,F,和棱数,E,满足,V+F-E=2？,像这样的连续变形中，表面可以变成一个球面的多面体叫做,简单多面体,。,球面,环面,两个对接的球面,二、多面体欧拉公式的发现,问题4：如何证明欧拉公式？,V+F-E=2,简单多面体的欧拉公式：,证明思路一,利用多边形的内角,和公式进行证明,.,1.将多面体转化为由多边形组成的平面图形,2.变形中的不变量：,左图中多面体某个面是,n,边形，右图中相应的多边形仍为,n,边形,问题4：如何证明欧拉公式？,图1,图2,3.计算多边形的内角和,(1)设图1中多面体的,F,个面分别是,n,1,，n,2,，.，n,F,边形，各面的 内角总和是多少？,(3)设图2中最大的多边形（即多边形,ABCDE）,是,m,边形，则它的内角和是多少？,(2)n,1,+n,2,+.+n,F,和多面体的棱数,E,有什么关系？说出理由.上述内角和是否等于（,E-F)?,它的内部包含的其他多边形的顶点数（不同多边形的公共顶点只计一次）是多少？,所有其他多边形的内角和是多少？,n,1,+n,2,+.+n,F,=2E,(m-2),180,。,V-m,(V-m),360+(,m-2)180,。,。,等于,(n,1,+n,2,+.+n,F,-2F),180,。,(n,1,-2),180,+(n,2,-2),180,+.+(n,F,-2),180=,。,。,。,图1,图2,3.计算多边形的内角和,(4)图2中全体多边形的内角和是多少？它是否等于(,V-2),用这个关系式能导出欧拉公式吗？,之间什么关系？说出理由，利,(5)(,E-F),与(,V-2),(V-m),360+2(,m-2)180=(V-2)360,。,。,。,(,E-F)360=,(,V-2)360,。,。,V+F-E=2,(3)设图2中最大的多边形（即多边形,ABCDE）,是,m,边形，则所有其他多边形的内角和是多少？,(V-m),360+(,m-2)180,。,。,证明思路二,利用拓扑变换的,方法进行证明,.,4.总结多面体欧拉公式的发现过程,（1）从具体的实物提出问题，多面体的顶点数,V、,面数,F、,棱数,E,之间有什么关系？,（2）从简单的几个多面体去猜测他们的关系。,（3）尝试证明猜测的结论。,这体现了发现数学定理的一种重要的思路，问题来源于我们的现实生活，结论可以先猜再证。,三、多面体欧拉公式的应用,（1）,1996年的诺贝尔化学奖授予对发现,C,60,有重要贡献的三位科学家。,C,60,是由60个,C,原子组成的分子，它的结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各个面的形状分为五边形或六边形两种（如图）。计算,C,60,分子中形状为五边形和六边形的面各是多少？,解：设,C,60,分子中形状为五边形和六,边形的面各为,x,个和,y,个,多面体的顶点数,V=60,面数,F=x+y,棱数,E,代入欧拉公式，可得,另一方面，棱数可以由多边形的边,数来表示，即,由以上两个方程可解出,x=12，y=20,答：,C,60,分子中形状为五边形和六边,形的面各有12个和20个。,四、研究性课题,（1）欧拉公式有几种证明方法,（2）欧拉公式的用途,（3）欧拉发现欧拉公式的背景及其相关著作,（4）由欧拉公式你能得出什么新的结论,（5）研究欧拉(,Leonhard Euler),的一生（包括他的故事、成就等）,五、本节要记住的几个结论,（1）简单多面体满足欧拉公式:,V+F-E=2,（2）如果一个简单多面体的面都是,m,边形，则,（3）如果一个简单多面体的每个顶点都引出,m,条棱，则,