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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,学案,1,不等关系与不等式,返回目录,1.,实数,a,b,大小的比较,a-b,0,;a-b=0,a-b,0,.,2.,不等式性质,性质,1 a,b,;,性质,2 a,b,b,c ,;,性质,3 a,b,;,a,b,a=b,a,b,b,a,a,c,a+c,b+c,考点分析,返回目录,性质,4 a,b,c,0,.a,b,c,0,;,性质,5 a,b,c,d,;,性质,6 a,b,0,c,d,0,;,性质,7 a,b,0,(nN,n2);,性质,8 a,b,0,(nN,n2).,ac,bc,ac,bc,a+c,b+d,ac,bd,a,n,b,n,返回目录,考点一 不等式的概念与性质,若,a,0,b,-a,c,d,0,则下列命题成立的有,(),ad,bc;,a-c,b-d;a(d-c),b(d-c).,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,题型分析,返回目录,【,分析,】,本题利用不等式性质可判断出命题的真假，判断时注意不等式成立的条件,.,【,解析,】,因为,a,0,b,c,d,0,所以,ad,0,bc,0,所以,ad,bc,错误,.,因为,a,0,b,-a,所以,a,-b,0.,因为,c,d,0,所以,-c,-d,0,，,所以,a,（,-c,）,(-b)(-d),所以,ac+bd,0,所以,返回目录,所以正确,.,因为,c,d,所以,-c,-d.,因为,a,b,所以,a+,（,-c,）,b+(-d),即,a-c,b-d,所以正确,.,因为,a,b,d-c,0,所以,a,（,d-c,）,b(d-c),正确,.,故应选,C.,【,评析,】,（,1,）准确记忆各性质成立的条件，是正确应用性质的前提,.,（,2,）在不等关系的判断中，特殊值法也是非常有效的方法,.,返回目录,对应演练,下列命题中，正确的命题个数为（）,若,a,b,c,b,则,a,c,；,若,a,b,则,;,若,a,b,c,d,则,ac,bd,；,若,a,b,0,则,;,若,则,ad,bc;,若,a,b,c,d,则,a-d,b-c.,A.4,个,B.3,个,C.2,个,D.1,个,返回目录,C,C(,命题不符合不等式的传递性,为假命题,.,若,a,0,b,则,无意义,命题为假,.a,b,c,d,中,a,b,c,d,的符号不确定,.,若,a,0,b,0,c,d,，则,ac,bd,，命题 为假,.,若,a,b,0,ab,0,，则 ，,所以 ，命题为真,.,当 且,cd,0,时，,ad,bc,，所以命题为假,.,若,c,d,，则,-d,-c,，又,a,b,，所以,a+(-d),b+(-c),，即,a-d,b-c,，命题为真,.,所以正确的命题只有,.,故应选,C.),返回目录,返回目录,【,分析,】,比较两数（或两式）的大小，一般用比较法，具体用作差比较还是用作商比较应由数 （或式）特点而定,.,考点二 大小比较,(1),设,xy0,b0,，且,ab,试比较,a,a,b,b,与的 大小,.,【,解析,】,(1)x,y,0,x-y,0,x,2,y,2,0,x+y,0,(x,2,+y,2,)(x-y),0,(x,2,-y,2,)(x+y),0,(x,2,+y,2,)(x-y),(x,2,-y,2,)(x+y).,(2),若,a,b,0,则 ,1,a-b,0.,由指数函数的性质 ,1.,若,b,a,0,则,0,1,，,a-b,0.,由指数函数的性质 ,1.,.,返回目录,返回目录,【,评析,】,（,1,）比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负,.,（,2,）作商比较通常适用于两代数式同号的情形,.,返回目录,对应演练,令,f,（,x,）,=,（,x-x,1,）（,x-x,2,），,又,f,（,x,）,=x,2,+,（,b-1,）,x+c,，,x,2,+bx+c=,（,x-x,1,）（,x-x,2,）,+x.,则,t,2,+bt+c-x1=,（,t-x,1,）（,t-x,2,）,+t-x,1,=,（,t-x,1,）（,t-x,2,+1,）,.,函数,f,（,x,）,=x,2,+,（,b-1,）,x+c,的图象与,x,轴交于（,x,1,，,0,）,（,x,2,，,0,），且,x,2,-x,1,1.,当,t,x,1,时，比较,t,2,+bt+c,与,x,1,的大小,.,t,x,1,t-x,1,0.,又,x,2,-x,1,1,-x,2,-x,1,-1,t-x,2,+1,-x,1,-1+t+1,即,t-x,2,+1,t-x,1,0.,（,t-x,1,）（,t-x,2,+1,）,0,t,2,+bt+c,x,1,.,返回目录,返回目录,【,分析,】,将,2a+3b,用,a+b,和,a-b,表示出来，再利,用不等式的性质求解,2a+3b,的范围,.,考点三 范围问题,已知,-1,a+b,3,且,2,a-b,4,求,2a+3b,的取值范围,.,【,解析,】,设,2a+3b=m,（,a+b,）,+n,（,a-b,），,m+n=2,m-n=3,，,m=,，,n=-.,2a+3b=,（,a+b,）,-,（,a-b,）,.,-1,a+b,3,2,a-b,4,-,-2,(a-b),-1,-,(a+b)-(a-b),即,-,2a+3b,.,返回目录,【,评析,】,由,a,f,1,(x,1,y,1,),b,c,f,2,(x,1,y,1,),d,求,g,（,x,1,，,y,1,）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设,g,（,x,1,，,y,1,）,=pf,1,（,x,1,，,y,1,）,+qf,2,（,x,1,，,y,1,），用恒等变形求得,p,，,q,，再利用不等式的性质求得,g,（,x,1,，,y,1,）的范围,.,此外，本例也可用线性规划的方法来求解,.,返回目录,返回目录,对应演练,设,f,（,x,）,=ax,2,+bx,且,1f(-1)2,2f(1)4,求,f,（,-2,）的取值范围,.,解法一,:,设,f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n,为待定系数,),则,4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即,4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.,m+n=4 m=3,n-m=-2,n=1,f(-2)=3f(-1)+f(1).,又,1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,故,5f(-2)10.,于是得,解得,返回目录,f(-1)=a-b,f(1)=a+b,a=,f(-1)+f(1),b=,f(1)-f(-1),f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).,又,1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,故,5f(-2)10.,解法二,:,由,得,1a-b2,2a+b4,当,f(-2)=4a-2b,过点,A,（）,时,取得最小值,4 -2,=5,当,f(-2)=4a-2b,过点,B(3,1),时，取得最大值,43-21=10,5f(-2)10.,返回目录,确定的平面区域如图,.,解法三,：由,返回目录,已知,a,，,b,是正实数，求证,.,【,分析,】,采用作差或作商法证明不等式,.,因为,a,，,b,0,故可采用作差法，也可采用作商法,.,考点四 不等式的证明,【,证明,】,证法一：,0,0,0,返回目录,返回目录,证法二,：,证法三,：,返回目录,返回目录,【,评析,】,（,1,）不等式的性质是解（证）不等式的基础，对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的加强或减弱，条件与结论之间的相互联系,.,（,2,）不等式的性质应用于证明不等式，往往是从条件推出结论的变换关系，而解不等式则要求等价变形,.,（,3,）判定不等式是否成立，常利用不等式的基本性质、函数的单调性和特殊值等方法,.,（,4,）由,a,f,1,(x,1,y,1,),b,c,f,2,(x,1,y,1,),d,求,g,（,x,1,，,y,1,）的取值范围，可利用待定系数法解决，对已知的范围要整体代换，而不能求出变量,x,1,，,y,1,的范围，否则扩大范围,.,对应演练,已知,a,b,0,c,d,0.,证明：,.,证明,:,因为,c,d,0,所以,cd,0,所以,即,.,因为,a,b,0,所以,a,b,0,即,所以,.,返回目录,返回目录,1.,要注意不等式性质成立的条件,.,例如，重要结论：,a,b,ab,0 ,不能弱化条件得,a,b ,也不能强化条件得,a,b,0 .,2.,要正确处理带等号的情况,.,如由,a,b,bc,或,ab,b,c,均可得出,a,c;,而由,ab,bc,可能有,a,c,也可能有,a=c,，当且仅当,a=b,且,b=c,时，才会有,a=c.,3.,两不等式相加的前提是两不等式必须同向，如“”与“”,“,”与“”均可理解成同向；两不等式相乘除了要同向外，还必须满足各数均是非负的,.,原则上不等式不能相减或相除,.,高考专家助教,祝同学们学习上天天有进步！,
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