高等代数集合与映射

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,6.1,集合 映射,*,2,线性空间的定义,与简单性质,3,维数,基与坐标,4,基变换与坐标变换,1,集合,映射,5,线性子空间,7,子空间的直和,8,线性空间的同构,6,子空间的交与和,第六章 线性空间,6.1,集合 映射,一、集合,二、映射,6.1,集合,映射,6.1,集合 映射,一、,集合(set),把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做,集合,；,常用大写字母,A,、,B,、,C,等表示集合；,当,a,是集合,A,的元素时，就说,a,属于,A,，记作 ；,当,a,不是集合,A,的元素时，就说,a,不属于,A,，记作,.,1,、定义,组成集合的这些事物称为集合的,元素（,element,）,用小写字母,a,、,b,、,c,等表示集合的元素,6.1,集合 映射,关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明集合论的创始人是,19,世纪中期德国数学家康托尔（,G,Cantor,），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果；集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性,.,注意,6.1,集合 映射,集合的表示方法一般有两种：,描述法,、,列举法,描述法（,description,）：,列举法（,enumeration,）：,M,x,|,x,具有性质,P,M,a,1,，,a,2,，,，,a,n,把构成集合的全部元素一一列举出来,.,给出这个集合的元素所具有的特征性质,.,6.1,集合 映射,例,1,例,2,N,，,2Z,例,3,空集：,不含任何元素的集合，记为,注意,约定：,空集是任意集合的子集合,.,6.1,集合 映射,2,、集合间的关系,如果,B,中的每一个元素都是,A,中的元素，则称,B,是,A,的,子集（,subset,）,，记作，（读作,B,包含,于,A,）,.,当且仅当,如果,A,、,B,两集合含有完全相同的元素，则称,A,与,B,相等,，记作,A,B,.,A,B,当且仅当 且,6.1,集合 映射,3,、集合间的运算,交：,；,并：,；,显然有，,6.1,集合 映射,二、映射,设,M,、,M,是给定的非空集合，如果有 一个对,应法则,，通过这个法则,对于,M,的每一个元素,a,，,都有,M,中一个确定的元素,a,与它对应,则称,为,称,a,为,a,在映射,下的,象（,image,）,，而,a,称,a,在,映射,下的,原象（,inverse image,）,，记作,(,a,),a,或,M,到,M,的,映射（,mapping,）,，记作,.,1,、定义,6.1,集合 映射,1.,设映射,集合,称之为,M,在映射,下的,象,，通常记作,Im,2.,集合,M,到,M,自身的映射称为,M,的一个,变换,显然，,注意,6.1,集合 映射,例,4,M,是一个集合，定义,I,：,I,(,a,),a,，,即,I,把,M,上的元素映到它自身，,I,是一个映射，,例,5,任意一个在实数集,R,上的函数,y,f,(,x,),都是实数集,R,到自身的映射，,称,I,为,M,上的,恒等映射（,identity mapping,）,或,即，函数可以看成是映射的一个特殊情形,单位映射,6.1,集合 映射,2,、映射的乘积,设映射 ，,(,a,),(,(,a,),即相继施行,和,的结果，是,M,到,M,的一个,映射,乘积,定义为：,6.1,集合 映射,1.,对于任意映射 ，有,2.,设映射,，,有,注意,6.1,集合 映射,3,、映射的性质,设映射,（,1,）若,，即对于任意,，均存在,（,surjection,）,或称,为,映上（,onto,）,的,；,，使,，则称,是,M,到,M,的一个,满射,6.1,集合 映射,（,3,）若,既是单射，又是满射，则称,为,双射（,bijection,）,（或称,为,1-1,对应,）,.,则称,是,M,到,M,的一个,单射（,injection,）,或称,（或,），,（,2,）若,M,中不同元素的象也不同，即,为,1-1,（,one to one,）,；,6.1,集合 映射,例,6,判断下列映射的性质,（,1,）,M,a,，,b,，,c,、,M,1,2,，,3,：,(,a,),1,，,(,b,),1,，,(,c,),2,（,既不单射，也不是满射,）,：,(,a,),3,，,(,b,),2,，,(,c,),1,（,2,）,M,=,Z,，,M,Z,，,：,(,n,),|,n,|,1,（,是满射，但不是单射,）,（,3,）,M,，,M,P,，（,P,为数域）,：,(,A,),|,A,|,，,（,是满射，但不是单射,）,（,双射,）,6.1,集合 映射,（,4,）,M,P,，,M,P,为数域,E,为,n,级单位矩阵,：,(,a,),aE,，,（,是单射，但不是满射,）,：,(,a,),a,0,，,（,既不单射，也不是满射,）,（,6,）,M,M,P,x,，,P,为数域,：,(,f,(,x,),f,(,x,),，,（,是满射，但不是单射,）,（,5,）,M,、,M,为任意非空集合，为固定元素,6.1,集合 映射,（,7,）,M,是一个集合，定义,I,：,I,(,a,),a,，,（,8,）,M,=,Z,，,M,2,Z,，,：,(,n,),2,n,（,双射,）,（,双射,）,6.1,集合 映射,4,、可逆映射,定义,设映射,若有映射,使得,则称,为,可逆映射（,invertible mapping,）,，,为,的,的逆映射是由,唯一确定的,记作,1,逆映射,，,6.1,集合 映射,1.,若,为可逆映射，则,1,也为可逆映射，且,（,1,）,1,注意,2.,为可逆映射，,，若,则有,3.,为可逆映射的充要条件是,为,1-1,对应,6.1,集合 映射,证：,若映射,为,1-1,对应，则对,均存在唯一的,，使,(,x,),y,，,作对应,即,；,即,为可逆映射,则,是一个,M,到,M,的映射,且对,6.1,集合 映射,即,所以,为满射,.,其次，对,，则,即,为单射,.,所以,为,1-1,对应,反之，设,为可逆映射，则,6.1,集合 映射,例,7,设映射,，证明：,（,1,）如果,h,是单射，那么,f,也是单射；,这与,h,是单射矛盾，,f,是单射,证：,若,f,不是单射，则存在,于是有,6.1,集合 映射,（,2,）如果,h,是满射，那么,g,也是满射；,证：,h,是满射，,，即,，,g,是满射,又,6.1,集合 映射,（,3,）如果,f,、,g,都是双射，那么,h,也是双射，并且,证：,因为,g,是满射，存在,使,又因为,f,是满射，存在，使,h,是满射,6.1,集合 映射,若,，由于,f,是单射，有,又因为,g,是单射，有,即,因而,h,是双射,h,是单射,.,6.1,集合 映射,