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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学习目标,1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.重点,2.会利用二次函数的概念解决问题.,3.会列二次函数表达式解决实际问题.难点,雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线,.,这些曲线能否用函数关系式表示？,导入新课,情境引入,导入新课,视频引入,思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗,?,1.,什么叫函数,?,一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量,x,与,y,，并且对于,x,的每一个确定的值，,y,都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说,x,是自变量，,y,是,x,的函数,.,3,.,一元二次方程的一般形式是什么？,一般地，形如y=kx+bk,b是常数，k0的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.,2,.,什么是一次函数？正比例函数？,ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0,),问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，外表积为 y，那么 y 关于x 的关系式为 .,y,=6,x,2,此式表示了正方体外表积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.,讲授新课,二次函数的定义,一,探究归纳,问题,2,n,个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数,m,与球队数,n,有什么关系？,分析：,每个球队,n,要与其他,个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数,.,n,-1,答：,此式表示了比赛的场次数,m,与球队数,n,之间的关系，对于,n,的每一个值，,m,都有唯一的一个对应值，即,m,是,n,的函数,.,问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，方案今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随方案所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？,分析：,这种产品的原产量是,20,件,一年后的产量是,件,再经过一年后的产量是,件,即两年后的产量,y,=_.,20(1+,x,),20(1+,x,),2,20(1+,x,),2,答：,y,=20,x,2,+40,x,+20；,此式表示了两年后的产量y与方案增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.,问题,1-3,中函数关系式有什么共同点?,函数都是用,自变量的二次整式表示,的,y,=6,x,2,想一想,y,=20,x,2,+40,x,+20,二次函数的定义：,形如,y,=,ax,+,bx,+,c,(,a,b,c,是常数,a,0,)的函数叫做,二次函数,.,其中,x,是自变量，,a,b,c,分别是二次项系数、一次项系数和常数项,.,温馨提示：,1等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；,2a,b,c为常数，且a 0;,3等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.,归纳总结,例1 以下函数中哪些是二次函数？为什么？x是自变量,y=ax2+bx+c s=3-2t y=x2,y=x+x+25 y=(x+3)-x,不一定是，缺少,a,0,的条件.,不是，右边是分式.,不是，,x,的最高次数是,3.,y,=6,x,+9,典例精析,判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),外，,还有其特殊形式如,y,=,ax,2,y,=,ax,2,+,bx,y,=,ax,2,+,c,等.,方法归纳,想一想:二次函数的一般式y=ax2bxca0与一元二次方程ax2bxc0a0有什么联系和区别？,联系,：,(1),等式一边都是,ax,2,bx,c,且,a,0；,(2),方程,ax,2,bx,c,=0,可以看成是函数,y,=,ax,2,bx,c,中,y,=0,时得到的.,区别,:,前者是函数,.,后者是方程,.,等式另一边前者是,y,后者是,0.,二次函数定义的应用,二,例2,1m取什么值时，此函数是正比例函数？,2 m取什么值时，此函数是二次函数？,解：,1由题可知,解得,2由题可知,解得,m,=3,.,第2问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.,注意,1.:，k取什么值时，y是x的二次函数？,解：当,=2,且,k+20,，即,k,=-2,时,y,是,x,的二次函数,.,变式训练,解：,由题意得：,m3,解：,由题意得：,【解题小结】此题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.,例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件,(1)假设生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1x10)，求出y关于x的函数关系式；,解：,第一档次的产品一天能生产,95,件，每件利润,6,元，每提高一个档次，每件利润加,2,元，但一天产量减少,5,件，,第,x,档次，提高了,(,x,1),档，利润增加了,2(,x,1),元,y,6,2(,x,1)95,5(,x,1),，,即,y,10,x,2,180,x,400(,其中,x,是正整数，且,1,x,10),；,(2)假设生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次,解：由题意可得 ,10,x,2,180,x,400,1120,，,整理得,x,2,18,x,72,0,，,解得,x,1,6,，,x,2,12(,舍去,),所以，该产品的质量档次为第,6,档,【方法总结】,解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型,思考：,1.二次函数y10 x2180 x400,自变量x的取值范围是什么？,2.,在例,3,中，所得出,y,关于,x,的函数关系式,y,10,x,2,180,x,400,，其自变量,x,的取值范围与,1,中相同吗？,【总结】,二次函数自变量的取值范围一般是,全体实数,，但是在实际问题中，自变量的取值范围应,使实际问题有意义,.,二次函数的值,三,例,4,一个二次函数,.,1求k的值.,2当x=0.5时，y的值是多少？,解：,（,1,）由题意，得,解得,将,x,=,0.5,代入函数关系式,.,（,2,）当,k,=,2,时，,此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为,0,及自变量指数为,2,这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将,x,的值代入其中，求出,y,的值,.,归纳总结,当堂练习,2.,函数,y,=(,m,-,n,),x,2,+,mx,+,n,是二次函数的条件是,(),A,.,m,n,是常数,且,m,0,B,.,m,n,是常数,且,n,0,C,.,m,n,是常数,且,m,n,D,.,m,n,为任何实数,C,1,.,把,y=(2-3,x,)(6+,x,),变成一般式，二次项为_,一次项,系数为_，常数项为,.,3,下列函数是二次函数的是,(),A,y,2,x,1 B,C,y,3,x,2,1 D,C,-3,x,2,-16,12,4.函数 y=3x2m-15,当m=时，y是关于x的一次函数；,当m=时，y是关于x的反比例函数；,当m=时，y是关于x的二次函数.,1,0,5.,若函数 是二次函数，求：,1求a的值.,(2)求函数关系式.,3当x=-2时，y的值是多少？,解：,（,1,）由题意，得,解得,（,2,）当,a,=-,1,时，函数关系式为,.,（,3,）将,x,=,-,2,代入函数关系式中，有,6.写出以下各函数关系，并判断它们是什么类型的函数,1写出正方体的外表积S(cm2)与正方体棱长acm之间的函数关系；,2写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；,3菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系,导入新课,情境引入,我校九年级学生姚小鸣同学怀着冲动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！,如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型,.,x,y,x,y,x,y,1y=ax2,2y=ax2+k,3y=a(x-h)2+k,4y=ax2+bx+c,O,O,O,导入新课,问题引入,如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一局部，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化你能想出方法来吗？,讲授新课,利用二次函数解决实物抛物线形问题,一,建立函数模型,这是什么样的函数呢？,拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数,你能想出方法来吗？,合作探究,怎样建立直角坐标系比较简单呢？,以拱顶为原点，抛物线的对称轴为,y,轴，建立直角坐标系，如图,从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？,由于顶点坐标系是（,0.0,），因此这个二次函数的形式为,x,O,y,-2,-4,2,1,-2,-1,A,如何确定,a,是多少？,水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A2，-2在抛物线上，由此得出,因此，其中,x,是水面宽度的一半，,y,是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化,解得,由于拱桥的跨度为米，因此自变量,x,的取值范围是：,水面宽,3m,时 从而,因此拱顶离水面高,现在你能求出水面宽,3,米时，拱顶离水面高多少米吗？,我们来比较一下,0，0,4，0,2，2,-2，-2,2，-2,0，0,-2，0,2，0,0，2,-4，0,0，0,-2，2,谁最适宜,y,y,y,y,o,o,o,o,x,x,x,x,知识要点,建立二次函数模型解决实际问题的根本步骤是什么？,实际问题,建立二次函数模型,利用二次函数的图象和性质求解,实际问题的解,例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处到达距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？,典例精析,解：建立如下图的坐标系，,根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).,数学化,B,(1,2.25),(0,1.25),C,D,o,A,x,y,根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要，才能使喷出的水流不致落到池外,.,当,y,=0,时,可求得点,C,的坐标为,(2.5,0);,同理，点,D,的坐标为,(-2.5,0).,设抛物线为,y,=,a,(,x,+,h,),2,+,k,，由待定系数法可求得抛物线表达式为：,y,=,(,x,-1),2,+2.25.,B,(1,2.25),(0,1.25),D,o,A,x,y,C,有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m如下图的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；,O,A,C,D,B,y,x,20 m,h,解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为,y,=,ax,2,.,该抛物线过,(10,-4),-4=100,a,，,a,yx,2.,练一练,利用二次函数解决运动中抛物线型问题,二,例2：如图，一名运发动在距离篮球圈中心4m水平距离远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球到达最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运发动出手时的高度是多少米？,解：如图，建立直角坐标系.,那么点A的坐标是1.5，3.05，篮球在最大高度时的位置为B0，3.5.,以点C表示运发动投篮球的出手处.,x,y,O,解得,a,=,0.2,，,k=3.5,，,设以,y,轴为对称轴
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