垂直于弦的直径

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,连接圆上任意两点的,线段,叫做,弦,，,经过圆心的,弦,叫做,直径,圆上任意两点间的,部分,叫做,圆弧,弧,(,半圆),劣弧与优弧,等圆(同心圆)与等弧,弦,(,直径),圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，,每一条弧都叫做,半圆,圆,圆心为,O,，半径为,r,的圆可以看成是:,所有到定点的距离等于定长,r,的,点,的集合。,能够重合的两个圆叫做,等圆,圆心相同的圆叫做同心圆,在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做,等弧,24.1.2 垂直于弦的直径(1),2.你能找出多少条对称轴？你能用什么方法解决上述问题？,可以发现：,1、,圆是轴对称图形。,任何一条,直径,所在直线都是它的对称轴,活动一,1.圆是轴对称图形吗?,如果是，它的对称轴是什么？,?,2.它有无数条对称轴，可用,对折,方法解决上述问题,A,B,A,B,C,D,思考：,问题1.,图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果,有，你能找到多少对？,O,问题2.,AB作怎样的变换时，,相等的线段有：OA=OC=OB=OD，AB=CD,相等的弧有：,结论：,当CD,AB,时,，,AC=,BC,AD=,BD,AC=,BC,AD=,BD,AC=,BD,BC=,AD,C,D,O,问题3.将弦AB进行平移时，如图,A,B,A,B,演 示,E,AC=,BC,(1)右图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么？,(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?,(1)是轴对称图形,其对称轴是直线CD,(2)AE=BE,垂直于弦的直径平分弦，,并且平分弦所对的两条弧。,垂直于弦,的直径,AD=,BD,已知:在O中,CD是直径,AB是弦,，CDAB于E。,即直径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB,验证,当圆沿着直径CD折叠时,A点和B点重合，,AC、AD分别与BC、BD重合。,已知：在O中,CD是直径,AB是弦,CDAB。,求证：AEBE，ACBC，ADBD。,叠合法,O,A,B,C,D,E,垂直于弦AB的直径CD所在的直线,是O的对称轴。,证明：,连结OA,OB,CDAB,OA=OB,AE=BE,O关于直径CD对称,AC=,BC,AD=,BD,点A和点B关于CD对称.,垂直于弦的直径平分弦，,并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理:,垂径定理,:,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。,O,E,D,C,B,A,结论：,注意:,过,圆心,和,垂直于弦,两个条件缺一不可,AC=,BC,AD=,BD,进一步，我们还可以得到结论：,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,即：,如果,CD,过圆心，且,AE=BE,则,CD,AB,，,AC=,BC,AD=,BD,CD过圆心(CD为直径)，CD,AB，,AE=BE，,AM=BM,由 ,CD,是,直径,CDAB,可推得,AD=BD.,AC=BC,CDAB,由 ,CD,是,直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.,可推得,几何语言表达,垂径定理：,推论：,O,M,D,B,A,C,O,M,D,B,A,如何应用,垂径定理：,例1如图，在,O,中，弦,AB,的长为8cm，,圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,练习,O,A,B,E,A,解：,答：,O,的半径为5,cm.,在Rt AOE 中,如上图.若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=,cm。,1.下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,火眼金睛,不是,O,E,D,C,A,B,注意：定理中的两个条件,（直径，垂直于弦）,缺一不可！,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。,AECEBEDE。,所以，ACBD,E,.,A,C,D,B,O,例2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的,弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD,OE就是,弦心距,2.,O,的半径是10cm,弦AB的长是12cm，则AB的弦心,距是_,3.过,O,内一点M的最长弦为10cm，最短弦长8cm，那么,O,的半径等于_，OM的长为_,4.如图：AB是,O,的直径，弦CDAB于E，,若AE=9，BE=1，求CD的长。,O,C,D,A,B,E,5.已知,O,的直径是20cm,O,的两,条平行弦AB=12cm.CD=16cm,则它们之间的距离_.,4,.,C,D,A,B,O,.,C,D,A,B,O,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,巩固训练,判断下列说法的正误,垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧,问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?,大显身手,37.4m,7.2m,A,B,O,C,D,经过圆心,O,作,OC,AB,于D，,OC,交,AB,于点,D,，连接AO,R,用 弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为,O,，半径为,R,AB,=37.4，,CD,=7.2，,OD=OC,CD,=,R,7.2,18.7,R-7.2,ADO=90,即,R,2,=18.7,2,+（,R,7.2）,2,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,解得：,R,279（,m,）,例3如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形.,4.已知：O中弦ABCD。,求证：ACBD,证明：作直径MNAB。,ABCD，MNCD。,则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）,AMCMBMDM,ACBD,.,M,C,D,A,B,O,N,讲解,圆的两条平行弦所夹的弧相等,小结:,解决有关弦的问题，经常是,过圆心作弦的垂线,，,或,作垂直于弦的直径,，,连结半径,等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,.,C,D,A,B,O,M,N,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,2.垂径定理:,AC=,BC,AD=,BD,CD过圆心，CD,AB，,AE=BE，,(2).几何语言,(1)垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。,1.圆是_,_是它的对称轴,轴对称图形,任何一条直径在的直线,3.利用垂径定理时，常用辅助线是：,(1)连半径或作弦心距构造直角三角形,(2)作垂直于弦的直径,轻松过关,1、如图，AB是圆的弦，利用一个三角板，你能确定这条弦的中点吗？,2、如图，点C是圆的任意一个点，利用一个三角板，你能画出一条弦AB，使点刚好是这条弦的中点吗？,A,B,C,通过这节课的学习，,你有哪些收获？,能与大家一起分享吗？,丰 收 园,作业：习题24.1,1、8、10、,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的(),平分弦的直线必垂直弦(),垂直于弦的直径平分这条弦(),平分弦的直径垂直于这条弦(),弦的垂直平分线是圆的直径(),平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦(),在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，,必平分此弦所对的弧(),辨别是非,更上层楼,Upper formation building,O,E,D,C,B,A,进一步，我们还可以得到结论：,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,。,即：,如果,CD,过圆心，且,AE=BE,则,CD,AB,，,AC=,BC,AD=,BD,想一想：为什么规定弦AB不是直径？,1如图，在,O,中，弦,AB,的长为8cm，圆心,O,到,AB,的距离为3cm，求,O,的半径,O,A,B,E,练习,解：,答：,O,的半径为5,cm.,在Rt AOE 中,2如图，在,O,中，弦,AB的长为8cm，圆心,O,到,AB,的距离为3cm，求,O,的半径。,O,A,B,E,3.若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=,cm。,轻松过关,解得：,R,279（,m,）,B,O,D,A,C,R,在Rt,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+（,R,7.2）,2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9,m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,AB,=37.4，,CD,=7.2，,OD=OC,CD,=,R,7.2,在图中,解：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为,O,，半径为,R,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,AB,相交于点,D,，,根据前面的结论，,D,是,AB,的中点，,C,是弧AB的中点，,CD,就是拱高,解决求赵州桥拱半径的问题,例2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的,弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD,A,C,B,D,O,2.,O,的半径是10cm,弦AB的长是12cm，则AB的弦心,距是_,3.过,O,内一点M的最长弦为10cm，最短弦长8cm，那么,O,的半径等于_，OM的长为_,E,OE就是弦心距,