阿基米德讲解

,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,给我一个支点我能举起地球,.,阿基米德,阿基米德,阿基米德（公元前,287,前,212,）生于叙拉古城（今意大利西西里岛），父亲是天文数学家，阿基米德才智超群，从小就有良好的家庭教育，青年时代到了“智慧之都”的埃及亚历山大城，跟随欧几里得的学生学习,.,阿基米德出生地,叙拉古,数学之神,阿基米德,公元前,287212,属于,亚历山大欧几里得学派,数学家、物理学家、天文学家、工程师,思想较少受到哲学方面的束缚,古今三大数学家之,积分的开创者,阿基米德,阿基米德的数学著作有,论球和圆柱,、,论劈锥曲面体与椭圆体,、,圆的度量,、,数沙者,、,抛物弓形求积,、,论螺线,等,.,（,1,）著,作简介,抛物线求积法,：,研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：,“,任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。,”,他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。,球与圆柱,：,熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的,。在这部著作中，他还提出了著名的,“,阿基米德公理,”,。,圆的度量,:,利用圆的外切与内接,96,边形，求得圆周率,为：,，这是数学史上最早的、明确指出误差限度的,值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。,浮体,：,是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。,论锥型体与球型体,：,讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。,平面的平衡,：,是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。,论螺线,：,是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。,砂粒计算,：,是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。,力学方面,成就最突出,力学创始人，被誉为“力学之父”。,阿基米德在物理学方面的工作主要有两项，一是关于平衡问题的研究，杠杆原理即属于此。另一项是关于浮力问题的研究，中学物理所学的浮力定律属于此类。,论杠杆,杠杆原理告诉人们，动力臂越长，阻力臂越短，就能以较小的力量撬起更重的物体。也就是说用力点离支点越近，阻力点离支点越远，就越费力；反之，用力点离支点越远，阻力点离支点越近，就越省力。,阿基米德把观察和数学推理、理论研究和实际应用相结合，建立了流体静力学的基本原理,即阿基米德原理：物体在液体中所受的浮力的大小等于物体排开的液体体积的重量。,论证了杠杆平衡的条件，给出了严密的公理陈述及若干定理的证明，即今天的杠杆原理，为静力学奠定了基础，提出了精确地确定物体重心的方法，指出在物体的中心处支起来，就能使物体保持平衡。,对此,阿基米德有句名言：“给我一个支点，我能撬动整个地球。”,原理,即阿基米德定律。,浸在液体（或气体）里的物体受到向上的浮力作用，浮力的大小等于被该物体排开的液体的重力。,适用范围：液体、气体，其公式可记为,F,浮,=G,排,=,液,gV,排（浮力的有关因素,:,浮力只与,液,V,排有关,与,物,(G,物,),h,深无关,与,V,物无直接关系）。,阿基米德在这些著作中渗透的数学思想,1,“,平衡法”中心思想,要计算,一个未知量,（图形的体积或面积），先将它,分成许多微小的量,（如面分成线段，体积分成薄片等），再用另一组,微小的单元来进行比较,.,但通常是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后,两组微小的量获得平衡,，而后者的总和比较容易计算,.,这实际上就是,近代积分的基本思想,.,而阿基米德可以当之无愧地被称为“,积分学的先驱,”,.,（,1,）用平衡法求球的体积,球切片体积,锥切片体积,柱切片体积,左力矩,=,右力矩,=,左力矩,=4,右力矩,P,球锥的切片,x,N,（,1,）用平衡法求球的体积,将球、圆锥、圆柱均完全分割成厚度为,x,的薄片，并将所有球与圆锥的薄片都挂到,P,点，圆柱薄片都留在原处。,左力矩和,=,（球体积,+,锥体积）,2,R,右力矩和,=,柱体积,R,（球体积,+,锥体积）,2,R=4,柱体积,R,球体积,=2,柱体积锥体积,（,2,）,抛物弓形求积,（,2,）,抛物弓形求积,任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四,2,穷竭法,穷竭法,就是指某个图形（如圆）被另一个图形（如内接多边形）所逐步“穷竭”，即填满,.,在,圆的度量,中，阿基米德用,穷竭法,求出了,圆周长和面积公式,.,他从圆的内接正三角形开始，变数逐步加倍，计算到,正,96,边形,时得到了圆周率的近似值为 ，还证明了与球的表面积和体积相关的重要结果,.,设圆面积为,A,，三角形的面积为,T,，证明,AT,和,AT,都不可能，所以,A=T.,阿基米德的离去,公元前,212,年秋天，围困两年多的叙拉古被罗马人攻下，当,75,岁的阿基米德在沙盘上画数学图形时，一个刚攻进城的罗马士兵向他喝问，据说，他因出神地在证明数学问题，没听见士兵的喝问,.,在士兵刀剑下，一个伟人倒在血泊中，他死后，遵其生前遗嘱，墓碑上雕刻了“圆柱容球图”,.,个人影响,美国的,E.T.,贝尔在,数学人物,上是这样评价阿基米德的：“任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两个通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代,背景,来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。”阿基米德是数学家与力学家的伟大学者，他的几何著作是希腊数学的顶峰，因此被作为“阿尔法,”,，即一级数学家。,他的作品始终融合数学和物理，因此阿基米德被称为“物理学之父”。,