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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3.1.1方程的根与函数的零点,思考：一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的根与二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的图象有什么关系？,我们知道，令一个一元二次函数,的函数值,y,0,，则得到一元二次方程,问题,1,观察下表,(,一,),，说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与,x,轴的交点的关系,。,没有交点,(1,0),x,2,-2x+3=0,x,2,-2x+1=0,(-1,0),(3,0),x,2,-2x-3=0,1.,方程根的个数就是函数图象与,x,轴交点的个数,.,。,结 论,:,无实数根,x,1,=x,2,=1,x,1,=-1,x,2,=3,y=x,2,-2x+3,y=x,2,-2x+1,y=x,2,-2x-3,图象与,x,轴的交点,函数的图象,一元二次方程,方程的根,二次函数,2.,方程的实数根就是函数图象与,x,轴交点的横坐标,。,若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(,a0),及相应的二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0,),的图象与,x,轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？,(,观察表二,),问题,2,0,=0,判别式,=,b,2,4ac,方程,ax,2,+,bx+c,=0,(a0),的根,函数,y=ax,2,+,bx,+c(a0),的图象,函数的图象,与,x,轴的交点,0,(,x,1,0),(,x,2,0),没有实根,没有交点,两个不相等,的实数根,x,1,、,x,2,有两个相等的,实数根,x,1,=x,2,(,x,1,0),二次函数的图像与,轴的交点与对应的一元二次方程的根的关系是否可以推广到一般情形,？,结论,：,1.,方程根的个数就是函数图象与,x,轴交点的个数,.,。,为什么,？,2.,方程的实数根就是函数图象与,x,轴交点的横坐标。,对于函数,y=,f(x,),我们把使,f(x)=0,的实数,x,叫做函数,y=f(x),的零点（,zero point),。,方程,f(x)=0,有实数根,函数,y=f(x),的图象与,x,轴有交点,函数,y=f(x),有零点,函数零点的定义：,等价关系,结论,：,函数的零点就是方程,f(x,)=0,的实数根，也就是函数,y=,f(x,),的图象与,x,轴的交点的横坐标,.,观察二次函数,f(x)=x,2,2x,3,的图象,:,在,2,1,上，,我们发现函数,f(x,),在区间（,-2,1),内有零点,x,_,有,f(,2),_0,f(1),_0,得到,f(,2)f(1),_,0,(),。,在,2,4,上，我们发现函数,f(x,),在区间（,2,4),内有零点,x,_,，有,f(2)_0,f(4)_,0,得到,f(2)f(4)_,0,（,),。,.,.,.,.,.,x,y,0,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,2,4,观察对数函数,f(x)=lgx,的图象,:,在,0.5,2.5,内,f(0.1),_,0,，,f(2),_,0,f(0.1)f(2),_,0(),函数,f(x,),在（,0.1,2),内有一个零点,x,_,，,.,x,y,0,1,2,1,.,.,.,思考,：,函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？,-1,3,1,如果函数,y=f(x),在区间,a,b,上的图象是连续,不断的一条曲线,，并且有,f(a)f(b)0,，,那么，函,数,y=f(x),在区间,(a,b),内有零点，即存在,c(a,b,),，使得,f(c)=0,，,这个,c,也就是方程,f(x)=0,的根。,注意,:,零点存在性定理,：,1,、,图像是连续不断的曲线,a,b,由表,3-1,和图,3.13,可知,f(2)0，,即f(2)f(3)0,f(1.5)=,2.8750,所以,f(x)=,x,3,3x+5,在区间,(1,1.5),上有零点。又因为,f(x),是,(,）,上的减函数，所以在区间,(1,1.5),上有,且只有一个零点。,x,y,0,1,3,2,1,1,2,5,4,3,2(1)f(x)=,x,3,3x+5,.,.,.,.,.,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,2(2),解：,作出函数的图象，如下：,.,.,.,.,因为,f(3),30,所以,f(x)=,2x,ln(x,2),3,在区间,(3,4),上有零点。又因为,f(x)=2x,ln(x,2),3,是,(2,，）上的增函数，,所以在区间,(3,4),上有且只有一个零点。,x,y,0,1,3,2,1,1,2,5,-3,-2,4,2(2)f(x)=2x,ln(x,2),3,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,2(3),解：,作出函数的图象，如下：,.,.,.,.,因为,f(0),3.630,所以,f(x)=e,x,1,+4x,4,在区间,(0,1),上有零点。又因,为,f(x)=e,x,1,+4x,4,是,(,，,）上的增函数，所以在,区间,(0,1),上有且只有一个零,点。,2(3)f(x)=e,x1,+4x4,x,y,0,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,2,4,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,2(4),解：,作出函数的图象，如下：,x,0,80,1,5,5,y,2,40,1,20,4,3,60,40,20,4,3,2,因为,f(,4),40,f(,2),20,f(2),700,所以,f(x)=3(x+2)(x,3)(x+4)+x,在区间,(,4,3),、,(,3,，,2,),、,(2,3),上各有,一个零点。,2(4)f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,课堂小结：,、函数零点的定义；,2,、,函数的零点与方程的根的关系,；,3,、,确定函数的零点的方法,。,布置作业：,P,102,习题,3.1,组 第,2,题,补充作业,：,1,、求下 列函数的零点：,(1)y=-x,2,+6x+7,；,
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