高数定积分概念与性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,定积分,积分学,不定积分,定积分,第一节,一、,定积分问题举例,二、定积分的定义,三、定积分的近似计算,定积分的概念及性质,四、定积分的性质,一、定积分问题举例,1.,曲边梯形的面积,矩形面积,梯形面积,设函数,y,f,(,x,),在区间,a,b,上非负、连续,.,由直线,x,a,、,x,b,、,y,0及曲线,y,f,(,x,)所围成的图形称为,曲边梯形,其中曲线弧称为曲边,.,观察与思考,在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化,?,怎样求曲边梯形的面积？,解决步骤,:,1),分割,.,在区间,a,b,中,任意,插入,n,1,个分点,用直线,将曲边梯形分成,n,个小曲边梯形,;,2),近似,.,在第,i,个窄曲边梯形上,任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3),求和,.,4),取极限,.,令,则曲边梯形面积,2.,变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程,s,.,解决步骤,:,1),分割,.,将它分成,在每个小段上物体经,2),近似,.,得,已知速度,n,个小段,过的路程为,3),求和,.,4),取极限,.,上述两个问题的共性,:,解决问题的方法步骤相同,:,“,分割,近似,求和,取极限”,所求量极限结构式相同,:,特殊乘积和式的极限,二、定积分定义,(P225),任一种,分法,任取,总趋于确定的极限,I,则称此极限,I,为函数,在区间,上的,定积分,即,此时称,f,(,x,),在,a,b,上,可积,.,记作,积分上限,积分下限,被积函数,被积表达式,积分变量,积分和,定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,定积分的几何意义,:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,可积的充分条件,:,取,定理,1.,定理,2.,且只有有限个间断点,(,证明略,),例,1.,利用定义计算定积分,解,:,将,0,1,n,等分,分点为,注,注,注,.,当,n,较大时,此值可作为,的近似值,注,利用,得,两端分别相加,得,即,例,2.,用定积分表示下列极限,:,解,:,三、定积分的近似计算,根据定积分定义,可得如下近似计算方法,:,将,a,b,分成,n,等份,:,1.,左矩形公式,例,1,2.,右矩形公式,推导,3.,梯形公式,4.,抛物线法公式,抛物线法公式的推导,上作抛物线,(,如图,),则以抛物线为顶的小曲边梯形,面积经推导可得：,例,3.,用梯形公式和抛物线法公式,解,:,计算,y,i,(,见右表,),的近似值,.,i,x,i,y,i,0,0.0,4.00000,1,0.1,3.96040,2,0.2,3.84615,3,0.3,3.66972,4,0.4,3.44828,5,0.5,3.20000,6,0.6,2.94118,7,0.7,2.68456,8,0.8,2.43902,9,0.9,2.20994,10,1.0,2.00000,(,取,n,=,10,计算时取,5,位小数,),用梯形公式得,用抛物线法公式得,积分准确值为,计算定积分,四、定积分的性质,(,设所列定积分都存在,),(,k,为常数,),证,:,=,右端,证,:,当,时,因,在,上可积,所以在分割区间时,可以永远取,c,为分点,于是,当,a,b,c,的相对位置任意时,例如,则有,6.若在,a,b,上,则,证,:,推论1.,若在,a,b,上,则,推论,2.,证,:,即,7.,设,则,例,4.,试证,:,证,:,设,则在,上,有,即,故,即,8.,积分中值定理,则至少存在一点,使,证,:,则由,性质,7,可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立,.,性质,7,说明,:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广,.,积分中值定理对,因,例,5.,计算从,0,秒到,T,秒这段时间内自由落体的平均,速度,.,解,:,已知自由落体速度为,故所求平均速度,内容小结,1.,定积分的定义,乘积和式的极限,2.,定积分的性质,3.,积分中值定理,矩形公式,梯形公式,连续函数在区间上的平均值公式,近似计算,抛物线法公式,思考与练习,1.,用定积分表示下述极限,:,解,:,或,思考,:,如何用定积分表示下述极限,提示,:,极限为,0!,2.P235,题,3,3.,P236,题,13(2),(4),题,13(4),解,:,设,则,即,作业,P235,*,2,(2);,6,;,7;,10,(3),(4),;12,(3),;,13,(1),(5),第二节,