资源描述
-,*,-,2,.,3,.,1,圆的标准方程,一,二,三,一、圆的定义,【问题思考】,1,.,填空,:,平面内到一定点的距离等于定长的点的,轨迹,是圆,定点是,圆心,定长是圆的,半径,.,设,M,(,x,y,),是,C,上的任意一点,点,M,在,C,上的条件是,|CM|=r,r,为,C,的半径,.,2,.,平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是什么,?,提示,:,是一个以定点为圆心,以定长为半径的圆面,.,一,二,三,二、圆的方程,【问题思考】,1,.,在平面直角坐标系中,圆是函数的图象吗,?,提示,:,根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂直于,x,轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图象,否则,不是函数的图象,.,对于平面直角坐标系中的圆,垂直于,x,轴的直线与其至多有两个交点,因此圆不是函数的图象,.,2,.,填空,:(1),圆心在坐标原点,半径为,r,的圆的标准方程为,x,2,+y,2,=r,2,.,(2),圆心坐标为,(,a,b,),半径为,r,的圆的标准方程为,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,.,一,二,三,答案,:,A,一,二,三,三、点与圆的位置关系,【问题思考】,1,.,用数形结合的思想方法说明直线,y=k,(,x-,3),与圆,x,2,+y,2,=,16,的位置关系怎样,?,提示,:,相交,.,因为直线,y=k,(,x-,3),恒过定点,(3,0),又点,(3,0),在圆,x,2,+y,2,=,16,的内部,故直线与圆是相交的,.,2,.,填空,:,设点,P,(,x,0,y,0,),和圆,C,:(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,则,:,点,P,在圆,上,(,x,0,-a,),2,+,(,y,0,-b,),2,=r,2,|PC|=r,;,点,P,在圆,外,(,x,0,-a,),2,+,(,y,0,-b,),2,r,2,|PC|r,;,点,P,在圆,内,(,x,0,-a,),2,+,(,y,0,-b,),2,r,2,|PC|,4,所以,a,1,或,a,0),的图象是以,(,a,b,),为圆心,半径为,r,的位于直线,y=b,下方的半圆弧,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),探究一,探究二,探究三,思想方法,直接法求圆的标准方程,【例,1,】,(1),圆心是,C,(,-,3,4),半径长为,5,的圆的方程为,(,),A.(,x-,3),2,+,(,y+,4),2,=,5,B.(,x-,3),2,+,(,y+,4),2,=,25,C.(,x+,3),2,+,(,y-,4),2,=,5,D.(,x+,3),2,+,(,y-,4),2,=,25,(2),已知点,A,(,-,4,-,5),B,(6,-,1),则以线段,AB,为直径的圆的方程为,.,解析,:,(1),因为圆心是,C,(,-,3,4),半径长为,5,所以圆的方程为,(,x+,3),2,+,(,y-,4),2,=,25,.,(2),AB,的中点坐标即为圆心坐标,C,(1,-,3),又圆的半径,r=|AC|=,所以所求圆的方程为,(,x-,1),2,+,(,y+,3),2,=,29,.,答案,:,(1)D,(2)(,x-,1),2,+,(,y+,3),2,=,29,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟,通过以上例题可总结出以下规律,:,(1),由圆的标准方程,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,可知,圆心为,(,a,b,),半径为,r,它体现了圆的几何性质,;,圆的标准方程,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,中有三个参数,a,b,r,只要求出,a,b,r,圆的方程也就确定了,因此确定圆的方程需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件,.,(2),几种特殊形式的圆的标准方程,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练,1,圆心为,(1,1),且过原点的圆的方程是,(,),A.(,x-,1),2,+,(,y-,1),2,=,1,B.(,x+,1),2,+,(,y+,1),2,=,1,C.(,x+,1),2,+,(,y+,1),2,=,2,D.(,x-,1),2,+,(,y-,1),2,=,2,解析,:,圆的半径,r=,圆心坐标为,(1,1),所以圆的标准方程为,(,x-,1),2,+,(,y-,1),2,=,2,.,答案,:,D,探究一,探究二,探究三,思想方法,待定系数法求圆的标准方程,【例,2,】,求下列圆的方程,:,(1),圆心在直线,y=-,2,x,上,且与直线,y=,1,-x,相切于点,(2,-,1);,(2),圆心,C,(3,0),且截直线,y=x+,1,所得的弦长为,4,.,(3),已知一个圆关于直线,2,x+,3,y-,6,=,0,对称,且经过点,A,(3,2),B,(1,-,4),.,思路分析,:,利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解,.,解,:,(1),设圆心为,(,a,-,2,a,),半径为,r,则圆的方程为,(,x-a,),2,+,(,y+,2,a,),2,=r,2,.,所以所求圆的方程为,(,x-,1),2,+,(,y+,2),2,=,2,.,探究一,探究二,探究三,思想方法,(2),设圆的半径为,r,则圆的方程为,(,x-,3),2,+y,2,=r,2,利用点到直线的距离公式可以求得,所以所求圆的方程为,(,x-,3),2,+y,2,=,12,.,探究一,探究二,探究三,思想方法,即,x+,3,y+,1,=,0,.,因为圆心在弦,AB,的垂直平分线上,也在对称轴上,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟,1,.,待定系数法求圆的标准方程,需求出圆心和半径,即列出关于,a,b,r,的方程组,求出,a,b,r.,一般步骤如下,:,(1),根据题意,设所求的圆的标准方程为,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,;,(2),根据已知条件,建立关于,a,b,r,的方程组,;,(3),解方程组,求出,a,b,r,代入圆的方程中,求出圆的标准方程,.,2,.,有时求圆的方程时,用上初中所学圆的几何性质往往使问题容易解决,.,圆的常用几何性质如下,:,(1),圆心在过切点,且与切线垂直的直线上,;,(2),圆心必是两条不平行的弦的中垂线的交点,;,(3),不过圆心的弦,弦心距,d,半弦长,m,及半径,r,满足,r,2,=d,2,+m,2,;,(4),直径所对的圆周角是,90,即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直,.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练,2,求圆心在直线,x-,2,y-,3,=,0,上,且过点,A,(2,-,3),B,(,-,2,-,5),的圆的标准方程,.,解,:,设点,C,为圆心,因为点,C,在直线,l,:,x-,2,y-,3,=,0,上,所以可设点,C,的坐标为,(2,a+,3,a,),.,又因为该圆经过,A,B,两点,所以,|CA|=|CB|.,解得,a=-,2,.,所以圆心坐标为,C,(,-,1,-,2),半径,r=.,故所求圆的标准方程为,(,x+,1),2,+,(,y+,2),2,=,10,.,探究一,探究二,探究三,思想方法,点与圆的位置关系,【例,3,】,已知在平面直角坐标系中有,A,(0,1),B,(2,1),C,(3,4),D,(,-,1,2),四点,这四点能否在同一个圆上,为什么,?,思路分析,:,先确定出过其中三点的一个圆的方程,再验证第四个点是否在这个圆上,即可得出答案,.,解,:,设经过,A,B,C,三点的圆的标准方程为,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,.,把,A,B,C,的坐标分别代入,得,所以,经过,A,B,C,三点的圆的标准方程是,(,x-,1),2,+,(,y-,3),2,=,5,.,把点,D,的坐标,(,-,1,2),代入上述圆的方程,得,(,-,1,-,1),2,+,(2,-,3),2,=,5,.,所以,点,D,在经过,A,B,C,三点的圆上,即,A,B,C,D,四点在同一个圆上,.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟,判断点,P,(,x,0,y,0,),与圆,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,的位置关系有几何法和代数法两种,:,(1),对于几何法,主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小,;,(2),对于代数法,主要把点的坐标代入圆的标准方程,左端与,r,2,比较,.,探究一,探究二,探究三,思想方法,试求过三点,A,(0,1),B,(2,1),C,(3,4),的圆的方程,并且判断点,(3,6),与所求圆的关系,.,解,:,所求方程同例题中的结论,(,x-,1),2,+,(,y-,3),2,=,5,.,经判断,因为点,(3,6),代入圆方程左边可得,(3,-,1),2,+,(6,-,3),2,=,13,5,因此点,(3,6),在该圆外,.,探究一,探究二,探究三,思想方法,利用数形结合思想求有关圆的最值问题,【典例】,如图所示,圆,C,:(,x-,8),2,+,(,y-,6),2,=,1,点,A,(0,-,1),B,(0,1),.,设,P,是圆上的动点,令,d=|PA|,2,+|PB|,2,求,d,的最大值和最小值,.,思路点拨,:,本题考查点与圆的位置关系及数形结合思想,可先列出函数关系式,再借助图形特点解决问题,.,解,:,设点,P,的坐标为,(,x,0,y,0,),所以,d=|PA|,2,+|PB|,2,因为原点,O,在圆外,点,C,的坐标为,(8,6),圆的半径为,1,所以,|OP|,max,=|CO|+,1,=,10,+,1,=,11,|OP|,min,=|CO|-,1,=,10,-,1,=,9,.,所以,d,max,=,2,11,2,+,2,=,244,d,min,=,2,9,2,+,2,=,164,.,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛,如图所示,点,P,(,x,0,y,0,),是圆,C,:(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,(,r,0),外一点,则圆上到点,P,距离最近的点为点,P,与圆,C,的圆心的连线与圆的交点,A,圆上离点,P,最远的点为点,P,与圆,C,的圆心的连线的延长线与圆的交点,B.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练,实数,x,y,满足,x,2,+y,2,=,4(,y,0),试求,m=x+y,的取值范围,.,解,:,作出半圆,:,x,2,+y,2,=,4(,y,0),和动直线,l,:,y=-x+m.,如图知,在,l,与半圆有公共点的前提下,当,l,与半圆相切时,纵截距最大,.,设这时切点为,B,l,与,y,轴相交于,A,则,OB,AB,|OB|=,2,OAB=,30,.,|OA|=,4,.,当,l,通过半圆与,x,轴的负半轴的交点,C,时,纵截距最小,.,设这时,l,与,y,轴相交于,D,点,.,|OC|=,2,CDO=,30,.,1,2,3,4,5,6,1,.,圆,(,x-,3),2,+,(,y+,2),2,=,13,的周长是,(,),答案,:,B,1,2,3,4,5,6,2,.,以点,A,(,-,5,4),为圆心,且与,x,轴相切的圆的标准方程为,(,),A.(,x+,5),2,+,(,y-,4),2,=,16,B.(,x-,5),2,+,(,y+,4),2,=,16,C.(,x+,5),2,+,(,y-,4),2,=,25,D.(,x-,5),2,+,(,y+,4),2,=,25,解析,:,因为圆与,x,轴相切,所以半径,r=,4,.,所以圆的标准方程为,(,x+,5),2,+,(,y-,4),2,=,16,.,答案,:,A,1,2,3,4,5,6,3,.,圆,(,x+,2),2,+y,2,=,5,关于原点,(0,0),对称的圆的方程为,(,),A.(,x-,2),2,+y,2,=,5B.,x,2,+
展开阅读全文