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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二,章 方程,(,组,),与不等式,(,组,),第,8,讲 一元二次方程,考点,梳理知识点,1.,能根据具体问题中的数量关系列出方程,.,2.,理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程,.,3.,会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等,.,4.,能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理,.,考标点击,思维导图,一元二次方程的有关概念：了解含义,1.,定义：,只,含有,_,个,未知数，并且未知数的最高次数,是,_,的,整式方程，叫做一元二次方程,.,2.,一般形式,：,_,(,其中,a,、,b,、,c,为常数，且,a0).,3.,会判断,a,、,b,、,c,的值是多少：,a,称为二次项系数；,b,称为一次项系数；,c,称为常数项,.,考点导学,考点,1,1,2,ax,2,+bx+c=0,一元二次方程的解,(,根,),与解法：会用,考点,2,1.,“,是解就满足方程，满足方程就是解,”,.,2.,一元二次方程的解法,(1),直接开平方法：用于当,b,0,时，类型：,ax,2,c,0,；,a(mx,n),2,c,0.,注意取“,”,号,.,(2),配方法：化二次项系数为,1,并移项后得到,x,2,x,形式，两边同时加上一次项系数一半的平方，得到,(x,),2,，此时用,直接开平方法,.,(3),公式法：通过配方得,(x,),2,，当,b,2,4ac0,时，,得到,_,，,我们称之为,求根公式,.,(4),因式分解法：当,ax,2,+bx+c,可分解因式,(,含“,十字相乘法,”,),时，用此法较简便,.,x,一元二次方程根的判别式及根与系数的关系：会运用,考点,3,1.,根的判别式：,对于一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),，判别式,为,_,，,当,0,时，方程有两个不相等实数根；当,=0,时，方程有两个相等实数根；当,0,时，方程无实数根,.,2.,根与系数的关系：,若关于,x,的一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),有两根分别为,x,1,，,x,2,，则,x,1,+x,2,=_,，,x,1,x,2,=_.,以,x,1,，,x,2,为根的一元二次方程为,(x,x,1,)(x,x,2,),0,或,x,2,-(x,1,x,2,)x,x,1,x,2,0,.,b,2,-4ac,-,列一元二次方程解决实际问题：会运用模型,考点,4,1.,增长率问题：,公式“原量,(1,增长率,)n,增长后量”,(,其中,n,是增长的期数即增长次数,).,2.,降低率问题：,公式“原量,(1,降低率,)n,减少后量”,(,其中,n,是降低的期数即降低次数,).,注意：,0,降低率,1,，增长率不为负，如果为负则为“,降低,”,.,3.,面积问题,(1),直接利用相应图形的面积,公式,列方程；,(2),将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的,关系,列方程,.,4.,盒子类问题：,盒子底面长原长,2x,，盒子底面宽原宽,2x.,5.,涨价问题：,进价为每件,a,元的商品，按每件,b,元销售，可卖出,c,件，现如果每件涨价,m,元，则少卖出,n,件,.,求利润为,p,元时的卖价,.,解法：设每件涨,x,元，则新卖价为每,件,_,元,.,公式：,(,原卖价,x,进价,)(,原卖数量,少卖数,),利润,.,即,(b+x-a)(,c-,n,)=p.,(b,x),6.,降价问题：,进价为,a,元的商品，按,b,元每件销售，可卖出,c,件，现如果每件降价,m,元，则多卖出,n,件,.,求利润为,p,元时的卖价,.,解法：设每件降,x,元，则新卖价每件为,(b,x),元,.,公式：,(,原卖价,x,进价,)(,原卖数量,多卖数,),利润,.,即,(b-x-a)(c,+,n,)=p.,7.,数字数位问题：,数字是指,从,_,之间,的数字；数位是指对应位置；数的大小等于各数位上的数字与对应数位相乘后的和,.,0,9,8.,单循环：,每两个队之间只比赛一场，如乒乓球比赛、握手问题、画对角线问题等,.,公式：设共有,x,个队,(x,人，,x,条边,),，则场数,=_.,9.,双循环：,每两个队之间比赛两场，如足球赛的主、客场比赛、同学互相赠送礼物等,.,公式：设共有,x,个队,(x,人,),，则场数,=_.,10.,分叉问题和传染问题,.,x(x,1),考法,聚焦重难点,焦点,1,一元二次方程的解与解方程,样题,1,已知,关于,x,的一元二次方程,(a-1)x,2,-2x+a,2,-1,0,有一个根为,x,0,，则,a,的值,为,( ),A.0B,.,1C.1D,.-,1,解析直接把,x,0,代入原方程，再结合,a-10,，进而得出答案,.,关于,x,的,一元二次方程,(a-1)x,2,-2x+a,2,-1,0,有,一个根为,x,0,，,a,2,-1,0,，且,a-10,，,则,a,的值为,-1.,D,变式训练,1.,(2019,怀化,),一元二次方程,x,2,+2x+1,0,的,解是,( ),A.x,1,1,，,x,2,-,1,B.x,1,x,2,1,C.x,1,x,2,-,1,D.x,1,-1,，,x,2,2,C,2.,解方程：,(1)2(x-3)=3x(x-3),；,解：移项，得,2(x-3)-3x(x-3)=0.,整理，得,(x-3)(2-3x)=0.,则,x-3=0,或,2-3x=0.,解得,x,1,=3,，,x,2,=,.,(2)2x,2,-4x-30=0,；,解：,2x,2,-4x-30=0,，,x,2,-2x-15=0,，,(x-5)(x+3)=0,，,x,1,=5,，,x,2,=-3.,(3)x(x-2)=3.,解：去括号，移项，得,x,2,-2x-3=0.,因式分解，得,(x-3)(x+1)=0.,x-3=0,或,x+1=0,，,x,1,=3,，,x,2,=-1.,焦点,2,根的判别式和根与系数的关系,样题,2,当,b+c,5,时，关于,x,的一元二次方程,3x,2,+bx-c,0,的根的情况,为,( ),A.,有两个不相等的实数,根,B,.,有两个相等的实数,根,C,.,没有实数,根,D,.,无法确定,A,解析,b+c,5,，,c,5-b,.,b,2,-43(-c),b,2,+12c,b,2,-12b+60,(b-6),2,+24,.,(b-6),2,0,，,(b-6),2,+24,0,，,0,，,关于,x,的一元二次方程,3x,2,+bx-c,0,有两个不相等的实数根,.,故,选,A.,变式训练,3.,（,2019,铜仁）一元二次方程,4x,2,-2x-1,0,的根的情况,为,( ),A.,有两个相等的实数根,B.,有两个不相等的实数根,C.,只有一个实数根,D.,没有实数根,B,4.,(2019,荆州,),若一次函数,y,kx+b,的图象不经过第二象限，则关于,x,的方程,x,2,+kx+b,0,的根的情况,是,( ),A.,有两个不相等的实数根,B.,有两个相等的实数根,C.,无实数根,D.,无法确定,A,5.,（,2019,遵义）一元二次方程,x,2,-3x+1=0,的两个根为,x,1,，,x,2,，,则,x,1,2,+3x,2,+x,1,x,2,-2,的值,是,( ),A.10B.9,C.8D.7,6.,已知方程,3x,2,-x-1=0,的两根分别是,x,1,和,x,2,，则,3,x,1,2,-2x,1,-x,2,的值,是,_.,D,焦点,3,列一元二次方程解决实际问题,样题,3,(,2019,重庆,A),某文明小区有,50,平方米和,80,平方米两种户型的住宅，,50,平方米住宅套数是,80,平方米住宅套数的,2,倍,.,物管公司月底按每平方米,2,元收取当月物管费，该小区全部住宅都有人住且每户均按时全额缴纳物管费,.,(,1),该小区每月可收取物管费,90000,元，问该小区共有多少套,80,平方米的住宅,？,(2),为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司,5,月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，,50,平方米和,80,平方米的住户分别有,40%,和,20%,参加了此次括动,.,为提高大家的积极性，,6,月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一,.,经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，,6,月份参加活动的,50,平方米的总户数在,5,月份参加活动的同户型户数的基础上将增加,2a%,，每户物管费将会,减少,a,%,；,6,月份参加活动的,80,平方米的总户数在,5,月份参加活动的同户型户数的基础上将增加,6a%,，每户物管费将会,减少,a,%.,这样，参加活动的这部分住户,6,月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将,减少,a,%,，求,a,的值,.,分析,(1),设该小区有,x,套,80,平方米住宅，则,50,平方米住宅有,2x,套，根据物管费,90000,元，可列方程求解出,x=250,.,(,2)5,月份,50,平方米住宅有,50040%,200(,户,),参与活动一，,80,平方米住宅有,25020%,50(,户,),参与活动一；,6,月份,50,平方米住宅每户所交物管费为,100(1-,a,%),元，有,200(1+2a%),户参与活动二；,80,平方米住宅每户所交物管费为,160(1-,a,%),元，有,50(1+6a%),户参与活动二,.,根据参加活动的这部分住户,6,月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将,减少,a,%,，列出方程求解即可,.,解答解：,(1),设该小区有,x,套,80,平方米住宅,，,则,50,平方米住宅有,2x,套，由题意，,得,2(502x+80x,),90000,，,解,得,x,250,.,答,：该小区共有,250,套,80,平方米的住宅,.,(2),参与活动一,：,50,平方米住宅每户所交物管费为,100,元，有,50040%,200,（户,）参与,活动一,.,80,平方米住宅每户所交物管费为,160,元，有,25020%,50,（户）参与活动一,.,参与,活动二,：,50,平方米住宅每户所交物管费为,100(1-,a,%),元，有,200(1+2a%),户参与活动二,.,80,平方米住宅每户所交物管费为,160(1-,a,%),元，有,50(1+6a%),户参与活动二,.,由题意，得,100(1-,a,%)200(1+2a%)+,160(1-,a,%)50(1+6a,%),200(1+2a%)100+50(1+6a%)160,(,1-,a,%),，,令,t,a%,，化简得,t(2t-1),0,，,t,1,0(,舍去,),，,t,2,=,，,a,50.,变式训练,7.,(2018,重庆,A),在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造,.,(1),原计划今年,1,至,5,月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共,50,千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的,4,倍，那么，原计划今年,1,至,5,月，道路硬化的里程数至少是多少千米,？,(2),到今年,5,月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值,2017,年通过政府投入,780,万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共,45,千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为,12,，且里程数之比为,21,为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入经测算：从今年,6,月起至年底，如果政府投入经费在,2017,年的基础上增加,10a%(a,0),，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在,2017,年的基础上分别增加,a%,，,5a%,，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年,1,至,5,月的基础上分别增加,5a%,，,8a%,，求,a,的值,.,解：,(1),设道路硬化的里程数是,x,千米，则道路拓宽的里程数是,(50-x),千米,.,根据题意，得,x4(50-x),，,解得,x40.,答：原计划今年,1,至,5,月，道路硬化的里程数至少是,40,千米,.,(2),设,2017,年通过政府投入,780,万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为,2x,千米、,x,千米，,根据题意，得,2x+x=45,，,解得,x=15,，,2x=30.,设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为,y,元、,2y,元，根据题意，得,30y+152y=780,，,解得,y=13,，,2y=26.,由题意，,得,13(1+a,%)40(1+5a%)+26(1+5a%)10(1+8a%)=780(1+10a%).,设,a%=m,，,则,520(1+m,)(1+5m)+260(1+5m)(1+8m)=780(1+10m),，,整理，得,10m2-m=0,，,解得,m,1,=,，,m,2,=0(,舍去,),，,a%=,a=10.,8.,阳春三月，春暧花开，重庆各地的草莓也开始成熟，草莓营养价值很高，含有多种维生素和微量元素，被誉为“果中皇后”，“开春第一果”，,3,月份，某水果批发商购进一批香草莓和巧克力草莓共,1000,公斤，进价均为每公斤,40,元，然后以巧克力草莓每公斤,75,元、香草莓每公斤,60,元的价格售完，共获利,29000,元,.,(,1),求该水果批发商分别购进香草莓和巧克力草莓各多少公斤,；,(2)4,月份，巧克力草莓大量上市，而香草莓产量开始缩减，,4,月份，在进价不变的情况下，该水果批发商决定调整价格，将巧克力草莓的价格在,3,月份的基础上下调,a%,，,(,降价后售价不低于进价,),，香草莓的价格在,3,月份的基础,上涨,a,%,，同时巧克力草莓的销量较,3,月份下降,了,a,%,，香草莓的销量较,3,月份上升了,25%,，结果,4,月份的销售额比,3,月份增加了,1000,元，求,a,的值,.,解：,(1),设巧克力草莓购进,x,千克，则香草莓购进,(1000-x),千克，根据题意，得,(75-40)x+(60-40)(1000-x)=29000,，,解得,x=600,，,则,1000-600=400(,公斤,).,答：该水果批发商购进巧克力草莓,600,公斤，香草莓,400,公斤,.,(2)4,月份的销售额,=75600+60400+1000=70000,（元），,75(1-a%),600(1-,a,%)+60(1,+,a,%)400(1+25%)=70000.,令,a%=t,，整理，得,15t,2,-13t+2=0,，,解得,t,1,=,，,t,2,=,，,当,t,=,时，售价为,75(1-,)=25,40,，不合题意，舍去；,当,t,=,时，售价为,75(1-,)=60,40,，故,a=20.,我们要注意些什么,1.,说某个方程是“一元二次方程”，必须满足两个条件：,(1),二次项系数,a0,；,(2),所含未知数的项的最高次数为,2.,2.,当方程两边都含有未知数的公因式时，千万不能两边同时除以这个公因式，只能提公因式分解因式解决，否则会漏掉根,.,3.,降价问题“前减后加”,.,若要求“尽快减少库存”“让利给消费者”，则取“降得多的那一个值”,.,考场,笑傲全国题,一、选择题,1.,(2019,金华,),用配方法解方程,x,2,-6x-8,0,时，配方结果正确的,是,( ),A.(x-3),2,17,B,.(x-3),2,14,C.(x-6),2,44,D,.(x-3),2,1,A,2.,(2019,通辽,),一个菱形的边长是方程,x,2,-8x+15,0,的一个根，其中一条对角线长为,8,，则该菱形的面积,为,( ),A.48,B.24,C.24,或,40,D.48,或,80,B,3.,(2019,哈尔滨,),某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件,25,元降到每件,16,元，则平均每次降价的百分率,为,( ),A.20,%,B.40%,C.18%,D.36,%,A,4.,(2019,新疆,),在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛,36,场,.,设有,x,个队参赛，根据题意，可列方程,为,( ),A,.,x(x-1,),36,B.,x(x+1,),36,C.x(x-1),36,D.x(x+1,),36,A,5.,(2019,广西,),扬帆中学有一块长,30 m,，宽,20 m,的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度,.,设花带的宽度为,x m,，则可列方程,为,( ),A,.(30-x)(20-x,)=,2030,B.(30-2x)(20-x,)=,2030,C.30x+220x=,2030,D.(30-2x)(20-x)=,2030,D,二、填空题,6.,(2019,西藏,),一元二次方程,x,2,-x-1,0,的根,是,_.,7.,(2019,葫芦岛,),若关于,x,的一元二次方程,x,2,+(2+a)x,0,有两个相等的实数根，则,a,的值,是,_.,8,.,(2019,铜仁,),某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入,5,亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入,7.2,亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率,为,_.,x,1,=,，,x,2,=,-2,20%,9.,(2019,山西,),如图，在一块长,12 m,，宽,8 m,的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路,(,两条道路各与矩形的一条边平行,),，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为,77 m,2,，设道路的宽为,x m,，则根据题意，可列方程,为,_.,(12-x)(8-x),77,10.,(2019,宁夏,),你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程,x,2,+5x-14,0,即,x(x+5),14,为例加以说明,.,数学家赵爽,(,公元,3,4,世纪,),在其所著的,勾股圆方图注,中记载的方法是：构造图,(,如下面左图,),中大正方形的面积是,(x+x+5),2,，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即,414+5,2,，据此易得,x,2.,那么在下面右边三个构图,(,矩形的顶点均落在边长为,1,的小正方形网格格点上,),中，能够说明方程,x,2,-4x-12,0,的正确构图,是,_.(,只填序号,),三、解答题,11.,(2019,常德,),解方程：,x,2,-3x-2=0.,解：,a=1,b=-3,c=-2,，,b,2,-4ac=(-3),2,-41(-2),=,9+8=17,，,=,x,1,=,x,2,=,.,12.,(2019,玉林,),某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内,+,农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是,2.5,万,kg,与,3.6,万,kg,，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同,.,(1),求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；,(2),假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为,0.32,万,kg.,如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？,解：,(1),设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为,x,，根据题意,得,2.5(1+x),2,3.6,，,解得,x,1,0.2,，,x,2,-2.2(,不合题意，舍去,).,答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为,20,%.,(,2),设再增加,y,个销售点，根据题意,得,3.6+0.32y3.6(1+20%),，,解得,y,.,又,y,为整数，,y3.,答：至少再增加,3,个销售点,.,13.,(2019,綦江区一模,),暑假是旅游旺季，为吸引游客，某旅游公司推出两条“精品路线”,“,亲子游”和“夏令营”,.,(1)7,月份，“亲子游”和“夏令营”活动的价格分别为,8000,元,/,人和,12000,元,/,人,.,其中，参加“夏令营”活动的游客人数为“亲子游”活动游客人数的,2,倍少,300,人，且“夏令营”线路的旅游总收入不低于“亲子游”线路旅游总收入的一半，问：参加“亲子游”线路的旅游人数至少有多少人？,(2),到了,8,月份，该旅游公司实行降价促销活动，“亲子游”和“夏令营”线路的价格分别下降,32a%,和,a%(a,20),，旅游人数在,7,月份对应最小值的基础上分别上升,3a%,和,5a%,，当月旅游总收入达到,256.32,万元，求,a.,解：,(1),设参加“亲子游”线路的旅游人数为,x,人，则参加“夏令营”活动的旅游人数为,(2x-300),人，由题意，得,12000(2x-300),8000x,，,解得,x180.,答：参加“亲子游”线路的旅游人数至少有,180,人,.,(2),由,(1),可知，参加“夏令营”活动的游客人数的最小值为,60,人，由题意，得,0.8(1-,a,%)180(1+3a%)+1.2(1-a%)60(1+5a%),256.32.,设,a%,t,，,整理，得,50t,2,-25t+2,0,，,解得,t,0.4(,舍去,),或,t,0.1,，,a,10.,
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