结构力学图乘法

1.图乘法原理,建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况下不方便。,梁、,刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式,：,称莫尔积分,图乘法的思想：利用图形静矩的概念将,图形积分,变为,图形相乘,。,4-4 图乘法,2、图乘法的适用条件：,（,1）杆件轴线是直线；,（2）杆段的弯曲刚度,EI,为常数；,（3）图 图 中至少有一个是直线图形。,3、图乘法公式,杆轴为直线,杆段,EI,为常数,图乘法是,Vereshagin,于,1925,年,提出的，他当时为莫斯科铁路,运输学院的学生。,x,c,x,y,c,x,y,C,A,B,M,p,dx,4、注意事项,（,1）必须符合图乘法的适用条件；,（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；,必须取自直线图形；,（2）,还记得吗？,（4）,拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解；,（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置,。,b,几中常见图形的面积和形心的计算公式,a,l,h,三角形,C,C,l,h,顶点,二次抛物线,l,h,顶点,c,N,次抛物线,l,h,顶点,c,二次抛物线,3,l,/4,l,/4,3.图形相乘的几种情况,（1）常见图形面积和形心：,矩 形,三角形,标准二次,抛物线,（2）梯形相乘,A,B,C,D,a,b,c,d,图,图,b c,取负值,（3）,一般形式的二次抛物线图形相乘,（4）,曲线图形与折线图形相乘,（5）,阶形杆件图形相乘,M,(,x,),x,l,x,x,c,C,对于等直杆有,即 积分可用,M,(,x,)图的面积,和与,M,(,x,),图形心,C,对应的 的乘积来代替,M,c,当,M,图为正弯矩时，,应代以正号.,当,M,图为负弯矩时，,应代以负号.,也应按弯矩符号给以正负号.,M,c,b,几中常见图形的面积和形心的计算公式,a,l,h,三角形,C,C,l,h,顶点,二次抛物线,l,h,顶点,c,N,次抛物线,l,h,顶点,c,二次抛物线,3,l,/4,l,/4,注意,折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，,有时,M,(,x,),图为连续光滑曲线，而,为折线，则应以,M,(,x,),然后求其和.,例1,求 ,EI,等于常数,。,解：,作 图 图，如右图所示。,分段,：，分为AC、CB两段。,分块,：图的AC段分为两块。,A,C,B,2,m,2,m,2,kN/m,16,A,4,C,B,A,1,C,B,2,1,M,P,2,y,2,y,1,如果将AC段的 图如下图那样分块，就比较麻烦。,16,A,4,C,8,4,图,例2,求 ,EI,等于常数。,作 图 图，如下页图所示。,4,kN,5,kN,2,kN/m,12,kN.m,4,kN.m,7,kN,4,m,4,m,A,C,B,解：,4,kN.m,4,kN,2,kN/m,2,m,A,C,1/2,1,y,1,2,y,3,8,12,4,4,M,P,图,1,3,y,2,图,1,A,C,B,B,A,C,（,kN.m,),例3,求 ,EI,等于常数。,解：,作 图及 图，,如右所示。,分段,：，分,为AB、BC两段。,分块,：图的,BC段分为两块。,6,kN/m,7,kN,6,kN.m,17,kN,2,m,4,m,A,B,C,1/6,1/6,2/3,1/3,1,2,y,3,y,1,图,图,14,12,6,1,3,（,kN.m,),1/6,1/6,2/3,1/3,1,2,y,3,y,1,图,图,14,12,6,1,3,（,kN.m,),例5-5,求,CH,，,EI,等于常数。,解：,A,B,C,2,kN/m,EI,EI,2,kN/m,4,m,2,m,作,M,P,图和 图见下页图。,分块,：,M,P,图的AB段分为两块。,4,2,y,3,=4,12,1,M,P,图(,kN.m,),2,m,2,y,2,2,y,1,图,1,3,A,B,C,4,作业,：,4-3(a)；(c),4-5 互等定理,互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。,一、功的互等定理,功的互等本质上是虚功互等,。,下图给出状态I和状态II。,状态II,A,B,1,2,a,b,A,B,1,2,a,b,状态I,令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到,：,状态II,A,B,1,2,a,b,A,B,1,2,a,b,状态I,同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到,：,所以,即,在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的,虚功,W,12,等于,第二状态的外力在第一状态的位移上所做的,虚功,W,21,。,二、位移互等定理,在任一线性变形体系中，由荷载,F,P,1,引起的与荷载,F,P,2,相应的,位移影响系数,21,等于,由荷载,F,P,2,引起的与荷载,F,P,1,相应的,位移影响系数,12,。,即,12=,21,由功的互等定理可得,：,在线性变形体系中，位移,ij,与力,F,Pj,的比值是一个常数，记作,ij,，即：,或,状态II,1,2,状态I,1,2,1,2,1,2,说明：,1）,ij,也称为,柔度系数，即单位力产生的位移,。,I,产生位移的方位；,j,产生位移的原因。,2）,F,P,1,和,F,P,2,可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的,12,和,21,就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是,广义荷载,，而位移则是,广义位移,。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲 上仍然保持相等,。,例1,验证位移互等定理。,解：,a,/2,a,/2,1,EI,F,P,1,=,F,21,2,a,/2,a,/2,1,EI,F,P,2,=,M,12,2,F,Fa,/4,M,1,1,a,/4,1/2,M/,2,例2,验证位移互等定理。,4,m,1,m,1,EI,F,P,1,=5,kN.m,21,2,4,m,1,m,1,EI,F,P,2,=3,kN,2,12,解：,1,5,3,1,1,1,三、反力互等定理,反力互等定理只适用于超静定结构,，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。,1,2,C,1,F,R,21,F,R,11,状态I,1,2,C,2,F,R,22,F,R,12,状态II,根据功的互等定理有：,在线性变形体系中，反力,F,Rij,与,C,j,的比值为一常数，记作,r,ij,，即,或,所以,得,说明：,r,ij,也称为,刚度系数，即产生单位位移所需施加的力,。其量纲为 。,i,产生支座反力的方位；,j,产生支座移动的支座。,例6-3,验证反力互等定理。,可见：,r,12,=,r,21,在任一线性变形体系中，位移,C,1,引起的与位移,C,2,相应的,反力影响系数,r,21,等于由位移,C,2,引起的与位移,C,1,相应的,反力影响系数,r,12,。,1,2,EI,l,C,2,=1,1,2,EI,l,C,1,=1,r,21,r,12,r,21,=,3,EI/l,2,3,EI/l,3,EI/l,3,r,12,=,3,EI/l,2,四、位移反力互等定理,根据功的互等定理有：,令,状态I,1,F,P,1,2,F,R,21,状态II,1,12,2,C,2,上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。,位移反力互等定理在混合法中得到应用,。,上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反,。,系数 、的量纲都是 。,在任一线性变形体系中，由位移,C,2,引起的与荷载,F,P,1,相应的,位移影响系数,在绝对值上等于由荷载,F,P,1,引起的与位移,C,2,相应的,反力影响系数,，但二者符号相反。,例4,验证位移反力互等定理,。,F,P,1,C,2,a,/2,a,/2,1,2,2,1,