经济数学基础教案

文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持罗定市中等职业技术学校备课本2012至2013学年度第二学期课程名称：经济数学基础适用班级：11春大专会计授课教师：黄燕琼课程表星期一星期二星期三星期四星期五早 读-1 -文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第一节第奉第第四节第五节11春大专会计11春大专会计第六节11春大专会计11春大专会计第七节晚 修晚 修授课教学计划教材分析：经济数学基础（专科）课程是广播电视大学会计学和工商管理专业学生的一门必修的重要基础课。它是为培养适应四个现代化需要的、 符合社会主义市场经济要求的大专应用型经济管理人才服务的。通过本课程的学习，使学生获得微积分 和线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力和用定性与定量相结合的方法处 理经济问题的初步能力，并为学习财经科各专业的后继课程和今后工作需要打下必 要的数学基础。教学目的、要求：通过本课程的学习，使学生对极限的思想和方法有初步认识，对具体与抽象、 特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，培养辩证唯物主义观点；初步 掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，并受到运用变量数学方法解决简单 实际问题的初步训练。通过本课程的学习，使学生初步熟悉线性代数的研究方法，培养学生的抽象思维、逻辑推理以及运算能力。重点章节：极限、导数与微分；导数应用；不定积分；定积分；积分应用；行列式；矩阵；线性方程组难点章节：导数应用；不定积分；积分应用；行列式；矩阵；线性方程组实习、实验教学项目：学期授课进度计划表周次课次授课内容课时备注1第1章函数概念22第1章函数的基本属性22第1章基本初等函数23第1章初等函数23第1章常用的经济函数24第2章极限的概念24第2章极限的运算（一）25第2章极限的运算（二）25第2章函数的连续性26第3章导数的概念（一）26第3章导数的概念（二）27第3章求导法则（一）27第3章求导法则（二）28第3章求导法则（三）28第3章求导法则（四）29第3章微分及其在近似计算中的应用（一）29第3章微分及其在近似计算中的应用（二）210第3章导数与微分 （复习）210第4章微分中值定理与洛必达法则211弟4早拉格朗日中值定理及函数的单调性211弟4早函数的极值与最值（一）212弟4早函数的极值与最值（二）212弟4早函数图形的描绘（一）213弟4早函数图形的描绘（二）213弟5早不定积分的概念及性质214弟5早不定积分的积分方法（一）214弟5早不定积分的积分方法（二）215弟5早不定积分的积分方法（三）215弟6早定积分的概念与性质216弟6早微积分基本公式（一）216弟6早微积分基本公式（二）217弟6早定积分积分方法（一）217弟6早定积分积分方法（二）218弟6早定积分的几何应用（一）218弟6早定积分的几何应用（二）219复习考试219复习考试220复习考试220复习考试2-13 -文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.备课教案第一周 星期五课 题函数所需课时2教学目的理解函数的概念，掌握函数的几何特性，为研究微分做好准备。掌握基本初等函数的各种状态，为研究更深一步的函数作准备。重 点函数的概念，函数的几何特性，各种基本初等函数的性态。难 点反函数的理解，分段函数的理解，复合函数的理解。教学过程：一、组织教学点名、组织课堂纪律二、复习引入同学们就以前学过的函数的知识谈谈自己对函数的理解。三、讲授新课一、函数的概念：1、函数的定义：1) Def：设x和y是两个变量，D是给定的非空数集。 若对于每一个数 xD,按照某一 确定的对应法则f,变量y总有唯一确定的数值与之对应，则称 y是x的函数，记作y f(x), x DoNote： (1) x称为自变量，y称为因变量或函数；(2) D称为定义域，记作Df,即Df D;(3) f称为函数的对应法则；(4) 集合 yy f(x), x D称为值域。当自变量x在定义域内取定某确定值X0时,因变量y按照所给函数关系求出的对应值y0叫做当X= X0时的函数值，记作 y例1：已知f (x)f 0 ,f或 f (Xo)2,f,f 2,f1 0解：f 0101 01, f例2:求下列函数的定义域(1)35x2 2x(2)9 x2(3)lg 4x(4)arcsin2x(5)lg 4xarcsin 2x 1解：(1)在分式3 5x22x中,分母不能为零，所以25x 2x2一，且 x 05即定义域为5,00,(2)在偶次方根中,被开方式必须大于等于零，所以9 X20,解得3即定义域为 3,3(3)在对数式中，真数必须大于零，所以 4x 3,即定义域为4(4)0 X(5)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1,即定义域为0,该函数为(3) (4)1,所以有 11两例中函数的代数和，此时函数的定义域为(2x 13) (4)1,解得两例中定0,13 ,14.3义域的交集，即 3, 4小结：定义域的求解原则:人1,(1)含一时，x 0X(2)含、对寸，x 0(3)(4)含 arcsinx,arccosX寸,x同时含有上述四种情况的人以两种或两种以上时，要求各部分都成立的交集。2)邻域:设a,为两个实数,0 ,则称满足不等式即以a为中心的开区间a ,a 为点a的邻域。点a为该邻域的中心,为该邻域的半径。四、练习:求下列函数的定义域:(1)35x2 2x(2)9 x2(3)1g 4x(4)arcsin2x 1(5)1g 4x3 arcsin 2x 1五、归纳小结本节主要复习了函数的定义及函数定义域值域的求法。这部分内容的掌握将为我们以 后的继续学习打下良好的基础。课后作业:2r x ,x 01、求函数y ln(1 x )的定义域；2、作函数f(x)的图像2x,x 0反思录:备课教案第二周 星期三课 题函数所需课时2教学目的(1)理解复合函数、分段函数的概念。(2)掌握函数的特性。重 点函数特性的理解。难 点函数特性的理解。教学过程：一、组织教学点名、组织课堂纪律二、复习引入1、什么叫做函数？2、求下列函数的定义域及值域。(1) f x 9 x2(2) f x 1g 4x 3三、讲授新课分段函数对于自变量的不同取值范围，又不完全相同的对应法则的函数，称为分段函数。例3：函数y2 .x 0 x 11 x x 1这是一个分段函数，其定义域为D 0, 1 (0,) 0,).当 0 x 1 时，y 2x;当 x1 时，y 1 x.f(2) 422 ; f(1) 2、12; f(3) 1 3 4.Note： (1)分段函数是一个函数而不是几个函数；(3) 分段函数的定义域是各段定义域的并集。3、显函数和隐函数若函数中的因变量 y用自变量x的表达式直接表示出来，这样的函数称为显函数。一般地，若两个变量 x,y的函数关系用方程 F(x,y)=0的形式表示，即x,y的函数关系隐 藏在方程里，这样的函数叫做隐函数。文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.例如：xy ex y 0有的隐函数可以转化成显函数，由隐函数转化成显函数的过程叫做隐函数的显化。 二、函数的几种特性：1、函数的有界性设函数f(x)的定义域为D,数集X D.如果存在数Ki,使对任一 x X,有f(x) Ki,则称函 数f(x)在X上有上界，而称Ki为函数f(x)在X上的一个上界.图形特点是y f(x)的图形在直线 y Ki的下方.如果存在数K2,使对任一 x X,有f(x) K2,则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数 f(x)在X上的一个下界.图形特点是，函数y f(x)的图形在直线y K2的上方.如果存在正数 M,使对任一 x X,有| f(x) | M,则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M 不存在，则称函数f(x)在X上无界.图形特点是，函数y f(x)的图形在直线y M和y M的 之间.函数f(x)无界，就是说又任何 M,总存在xi X,使| f(x) | M.例如(i)f(x) sin x在(，)上是有界的：|sin x| i. i .(2)函数f(x)在开区间(0, i)内是无上界的.或者说匕在(0, i)内有下界，无上界. x这是因为，对于任一 Mi,总有xi： 0 i,使M. i f(K)1 M , xi所以函数无上界.i函数f (x)在(i, 2)内是有界的. x2、函数的单调性设函数y f(x)的定义域为D,区间I D.如果对于区间I上任意两点xi及x2,当xix2 时，恒有f(xi) f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点xi及x2,当xi f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数函数单调性举例：函数y x2在区间(，0上是单调增加的，在区间0,)上是单调减少的，在(，) 上不是单调的.3、函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x D,则x D).如果对于任一 x D,有f( x) f(x),则称f(x)为偶函数.如果对于任一 x D,有f( x) f(x),则称f(x)为奇函数.-ii-文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持偶函数的图形关于 y轴对称，奇函数的图形关于原点对称:奇偶函数举例：y x2, y cos x都是偶函数.y x3, y sin x都是奇函数,y sin x cos x是非奇非偶函数.例4：判断函数f (x) loga(x xx2 1)的奇偶性.解函数的定义域为 D=(,),又因为所以函数f (x) log a (x yx 1)是奇函数.4、函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l ,使得对于任一 x D有(x l) D,且f(x l) f(x)则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为l的区间上，函数的图形有相同 的形状.例如，y sin x, y cosx的周期T 2 , y tanx, y cotx的周期T ，正弦型曲线函一，2数y Asin( x )的周期为T .四、练习2x0x1已知函数y，求f(0.04)和f(9)。1 x x 1五、归纳小结本节主要总结了函数的几种特性，适当时候可以结合图像来分析理解。课后作业:，一一x2, x 0,求函数f (x)的定义域及函数值f ( 1), f (0), f(1)?1, x 0反思录：备课教案第三周 星期五课 题基本初等函数所需课时2-# -文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.教学目的(i)理解反函数，会求一个函数的反函数。(2)掌握五类基本初等函数。掌握五类基本初等函数。理解反函数，会求一个函数的反函数。教学过程：、组织教学组织课堂纪律1、计算:123； 20； 2 2; 164；49-83 -文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.2、怎样画函数的图像?、讲授新课一、初等函数1、反函数定义1.1设函数y f (x), xD,yZ.若对于任意一个y Z,D中都有惟一的一个x,使得f(x)y成立，这时x是以z为定义域的y的函数，称它为y f (x)的反函数，记作f 1(y), y在函数xf 1(y)中，y是自变量，x表示函数.但按照习惯，我们需对调函数f Xy)中的字母x,1y ,把它改写成 y f (x), x Z .今后凡不特别说明,函数yf(x)的反函数都是这种改写过的 y f 1(x),x Z形式.函数 y f (x), xf 1(x),x Z互为反函数，它们的定义域与值域互换在同一直角坐标系下，yf(x),x D与y f 1(x),x Z互为反函数的图形关于直线x对称。例如，函数y 3x 2与函数y口互为反函数，其图形如图1.1所示，关于直线y x3对称.函数y 2x与函数y 10g 2 x互为反函数，它们的图形在同一坐标系中是关于直线y x对称的.如图1.2所示.y 10g 2 x-20-2图 1.1图 1.2定理1 . 1数也是单调增加(反函数存在定理(减少)的.单调函数必有反函数，且单调增加(减少)的函数的反函求反函数可以按以下步骤进行(2)函数.从方程y f (x)中解出惟一的x ,并写成 将x g(y)中的字母x, y对调，得到函数x g(y);y g(x)，这就是所求的函数 y f(x)的反复合函数定义1.2(x)代入 f (u)和 u假设有两个函数y f (u), u(x)，与x对应的u值能使y有定义，将y f (u),得到函数y f ( (x).这个新函数y f ( (x)就叫做是由 (x)经过复合而成的复合函数，称u为中间变量.例如，由yf(u) eu,u (x)cosx可以复合成复合函数y f( (x)ecosx复合函数不仅可用两个函数复合而成,也可以有多个函数相继进行复合而成.如由Vu,u1n v,v sin x可以复合成复合函数yJln sin x .需要指出，不是任何两个函数都能复合成复合函数.由定义易知，只有当uy f(u)的定义域的交集非空时,这两个函数才能复合成复合函数.例如函数(x)的值域y ln u 和就不能复合成一个复合函数.因为ux2的值域为(，0,而y 1nu的定义域为(0,)，显然(，0 (0,),y 1n( x2)无意义.基本初等函数我们学过的五类函数：募函数、 本初等函数.指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基为了便于应用，下面就其图像和性质作简要的复习.参看表1-1 .表1-1基本初等函数及图像性质序号函数图像性质1募函数(1,1)0x在第一象B0时函数单增；0时函数单减.都过点（1,1）2指数函数10Xa 1时函数单增；0 a 1时函数 单减.共性：过（0, 1）点，以X轴为 渐近线3对数函数01Xa 1时函数单增；0 a 1时函数 单减.共性：过（1, 0）点，以y轴为 渐近线正弦函数1-0X-1奇函数，周期T=2 ,有界余弦函数1-2 02X-1偶函数，周期T=2 ,有界COSX 1二角4函 数正切函数-2 023rx奇函数，周期T=,无界余切函数-20 2奇函数，周期T=,无界5反角 函 数反正弦函数-1 01 x-x 1,1,y _,一奇函数，单调2 2增加，有界反余弦函数-1 0 1xx 1,1, y 0, ,单调减少，有界反正切函数0 xx (,),y (-,-)奇函数,2 2单调增加，有界，v为两条y2水平渐近线反余切函数0xx (,), y (0,)单调减少，有界，y 0, y为两条水平渐近线四、练习1、基本初等函数有哪几类？2、是不是所有函数都有反函数？五、归纳小结这一节课我们复习了五类基本初等函数，它们的性质可以结合图像来理解和记忆。 课后作业：指出下列函数由哪些基本初等函数(或简单函数)构成?2 y ln(sin x )2x(2) y e2(3) y 1 arctan x反思录:备课教案第三周 星期三课题初等函数所需课时2教学目的理解初等函数的定义，并能把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函 数；也能把一个初等函数拆分成几个基本初等函数。重占 八、把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函数和把一个初等函数拆分 成几个基本初等函数。难占 八、把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函数和把一个初等函数拆分 成几个基本初等函数。教学过程：-、组织教学点名、组织课堂纪律 二、复习引入填空：1、纠正作业。2、画出五种基本初等函数的草图。 三、讲授新课定义1.3由基本初等函数经过 有限次四则 运算或有限次复合 所构成的，并能用 一个式子表示的函数，统称为 初等函数.【例1.4】下列函数是由哪几个简单函数复合而成的.(1) y ln sin x(2) y cos1x_1(3) yesin2x解(1)令 u sinx ,则 y In u .于是 y In sinx是由y In u , u sinx复合而成的.(2)令 v x 1 , u Jv ,则 y cosu.所以 y cos Vx 1是由y cosu, u vv, v x 1复合而成的(3)令 v 2x, u sinv,贝U y eu.所以sin 2xuy e 是由 y e , usin v, v 2x复合而成的.本课程研究的函数，主要是初等函数.凡不是初等函数的函数，皆称为非初等函数 【例1. 5】将下列几个基本初等函数复合成一个初等函数。(1) u sin x y In u .(2) y cosu u 、v v x 1(3) y eu , u sinv, v 2x四、练习将下列几个基本初等函数复合成一个初等函数。(1) v sin x y In v.(2) v x 1 u v y cosu(3) , u sinv v 2x y eu五、归纳小结初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合所构成的函数。 注意：要掌握好将一个初等函数分解成较简单函数，其步骤是自外层向内层逐层分解，切忌 漏层。课后作业:2、判定下列函数的奇偶性？(1) y f(x) f( x) (2) y ex e x (3) y x2n 1(n为自然数)3、作下列函数的图像？x 1x. I(1) y 1(2) y e(3) y sinx|x 1反思录：备课教案第三周 星期五课 题常用的经济函数所需课时2教学目的1、理解几个常用的经济函数2、会用函数的知识解决经济问题重 点理解经济函数的含义及应用难 点运用经济函数解决经济问题教学过程：一、组织教学点名、组织课堂纪律二、复习引入函数y Insinx是由，这两个函数复合而成的。三、讲授新课经济函数主要包括：1、需求函数q(p) (p为价格)2、成本函数C(q)3、收入函数R(q)4、禾1J润函数L(q)1需求函数与价格函数1.1 线性需求函数1.2 二次曲线需求函数1.3 指数需求函数注：一般地，需求量随价格上涨而减少。因此，通常需求函数是价格的单调减少函数。价格函数反映商品需求和价格的关系。2供给函数一般地，商品供给量随商品价格的上涨而增加。因此，商品供给函数是商品价格的单调 增加函数。3总成本函数(单调增加函数)注：生厂成本包括固定成本和可艾成本。4收入函数利润函数总收入R R(q) qP(q)和平均收入R R也P(q),其中P(q)是商品的价格函数，它q们均是出售商品数量的函数。总利润L L(q) R(q) C(q)和平均利润匚L(q) L,均是产量q的函数q注：利润函数L(q)出现的三种情况：L(q) R(q) C(q)0有盈余生产(2) L(q) R(q) C(q)0,)J f(x) 0(或(f(x) 0).4、夹逼准则这个定理称为夹逼定理，它同样适用于x 的情况在这个公式里x趋近于哪个数是非常重要的，x趋近于不同的数，极限是不同的。(四)关于极限的几点说明1 . 一个变量前加上记号“ lim ”后，是个确定值。例：正n边形面积sn, lim sn=圆面积 n2 .关于“xX0”的理解：只要求在 X0的充分小邻域有定义。与在点X0和远离X0点有无意义无关。例：在求分段函数的极限时尤为重要。3 .常数函数的极限等于其本身。即：lim C=CX c(五)无穷小量与无穷大量1、无穷小量概念定义5极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；注：1、无穷小量不是很小的数 ，它也是极限的概念。2、数零是唯一可作为无穷小的常数。3、无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。2、一个量无论多么小，都不能是无穷小，零唯一例外。当x-a (或8)时，如果函数 f(x)的极限为0,则称当x-a (或)时，f(x)是无穷小 量。若数列 an的极限为0,则 an是无穷小量。例如：limsinx 0,所以，当x-0时，sin x 是无穷小量。 x 0同样，当x0时x (0), 1-cosx , arcsinx 等都是无穷小量。11当x-+8时，lim 1 0 ,所以1是无穷小量. n nn定理4极限与无穷小之间的关系：无穷小量的性质定理5有限个无穷小量的代数和是无穷小量。例如，当x-0时，x+sinx也是无穷小量定理6无穷小量与有界量之积是无穷小量。例如，当x-0时，xsinx也是无穷小量。推论1:任一常数与无穷小量之积是无穷小量。例如，当x-0时，3sinx也是无穷小量。推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。(注：两个无穷小之商未必是无穷小)2、无穷大量当x-x0 (或8)时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当x-x0 (或8)时，f(x)是无穷大量。记作 lim f(x尸 8,或f(x) 一00。X x0定义6 若lim f (x) (或lim f (x),则称f (x)为当x x0 (或久00 )时x Xox的无穷大量，简称无穷大。如lim 1=，表示当 五时，1为无穷大.x o xx关于无穷大量几点说明：1 .无穷大量不是一个很大的数，它是极限的概念；Um /(z) =co g /=co2 .无穷大量的实质是极限不存在，为了表示记作 f或.3 .若数列 xn当n一+8时，它项的绝对彳1无限增大，则 xn是无穷大量。14 .如果当x一 x0 (或8)时 函数 f(x)是无否大重，那么 就是当x一 x0 (或8)f(x)1时的无穷小量，反过来，如果当x-x0(或8)时，函数f(x)是非零无穷小量，那么f (x)就是当x- Xo (或8)时的无穷大量。即无穷大量的倒数是无穷小量。无穷小量(非零)的倒数是无穷大量。(3)无穷大必无界，但反之不真。因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0,证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。四、练习判断下列函数在指定点的是否存在极限x 1,x 2x, x 2（当x 2时）sin x,x 01c-x,x 03（当x 0时）五、归纳小结理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；熟 练掌握x 和xx0时f(x)的极限存在的充要条件，理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性 质求极限.课后作业：反思录:备课教案第四周 星期五课 题极限的运算(一)所需课时2教学目的掌握函数极限的运算法则及其推论，能运用运算法则求极限重 点函数极限的运算法则及其推论难 点函数极限的运算法则的灵活运用教学过程：-、组织教学点名、组织课堂纪律二、复习引入-、导入新课1、函数极限是怎样定义的？函数极限存在的充要条件是什么?2、无穷小的性质有哪些？二、讲授新课(一)极限的运算法则设x在同一变化过程中lim f(x)(此处省略了自变量 x的变化趋势，下同)及lim g(x)都存在，则有下列运算法则：法则 1、lim f(x)g(x)= lim f(x) lim g(x)法则 2、lim f(x) ? g(x)= lim f(x) ? lim g(x)f (x) lim f (x)法贝U 3、lim = ( lim g(x)0)g(x) lim g(x)提示：法则的证明不作要求(1)直接代入求值求 lim (3x 2 -4x+1) x 2解:lim (3x 2-4x+1)=3 ?22-4 ?2+1=5 x 22,求limx 12x x 43x2 2解:lim 在一x 1 3x_ 2Jm(2xx 4)lm(3x2 2)2求lim,x 4 x27x 125x 4解:2 x7x 12lim -2= limx 4 x5x 4 x 4(x 3)(x 4)=limx 3 = 1(x 1)(x 4) x 4 x 1 3小结：xXo时，可直接代入(若代入后令分母为零。可先约分后再代入)举例：1、lim 6x 2x 5、lim(6x+5)-2_3 、lim (x 6x)x 102x 3 limx 55x 35、xim6x2 36(2)一型例4 求limx解：limx2x23x22x23x2=limx小结：x时,2xlimx 2 x3 1223x x型的极限，可用分子分母中2x3课堂练习1、计算lim 2x a x3x3(3)型，0型，0求下列函数极限1、 lim (解：1、lxm12、lxmo3、limx4x 4x的最高次哥除之、limxxcosx1 x3一) x=lxm=lim x 13 (1 xx2)(1 x)(1 x x2)-(2-x)(1-x)2- = lim (1 x)(1 x x ) x 1x 彳2 =1 x1 = limx 0xcosx=lim(3 x“1 x(1 x 1)(x 1)x( 1 x 1)x(1 1 x 1)= lim x 0 . 1 xx?cosx=0,3- 1 x小结：1题可看成直接代值的特殊情况_ 1 1一22题是“0型”经常可通过分母、分子有理化解决03题是无穷小与有界量的积为无穷小四、练习求下列极限x 9 32 -1arctanx1 、lim 2、lim x sin3、lim x 0 xx 0xx x五、归纳小结掌握函数极限的运算法则及其推论，能运用运算法则求极限。特别情形：x 时，一型的极限，可用分子分母中 x的最高次哥除之；0型经常可通过分母、分子有理化解决；无0穷小与有界量的积为无穷小课后作业：求卜列极限.x2 1lxm1x 1lim(1) x 1 2x 12 x2 2x 2 lxm0 x23反思录：备课教案第五周 星期三课题极限的运算（二）所需课时2教学目的1 .掌握两个重要极限，会运用两个重要极限求极限2 .理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义3 .掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量4 .会运用等价无穷小量求函数的极限重占 八、1 .两个重要极限及其应用2 .高阶、低阶、同阶和等价无穷小的定义与判定及其应用难占 八、1 .两个重要极限的应用2 .等价无穷小量的判定及其在极限运算中的应用教学过程：-、组织教学点名、组织课堂纪律复习引入考察极限lim sinxx 0 x观察：当x 0时函数的变化趋势x（弧度）0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.当x取正值趋近于0时，sin2_ 1,即lim %x二1； xx 0 x当x取负值趋近于 0时，-X 0,-x0, sin（-x）0 .于limx 0sin x limsin( x)(x)、讲授新课(二)两个重要极限sin xlim =1x 0 x特点：它是“人 sin.lim 1（三角形代表同一变量）0思考:x lim x 0 sin x1吗? 八.1求 lim x?sin -解:limx 0sin 2xlimx xsin xxsin 2x 八= lim ?2=2x 0 2xlimxxsin x=limxlim x?sin -1 ?sin x=0x1解：八1.lim x?sin 一二 lim.1 sin x1=sin 3x求 lim x 0 sin4xsin 3x斛： lim = limx 0 sin 4x xsin 3x 3x 4x?？3x4x sin 4x3=4（复习二倍角）cos222=cos sin2=2 cos1=1-2 sin22cos1 cos 2. 2sin1 cos 2求1 cosx解：原式=xim02 x2sin2-2 = limx x 0x_._xsinsin (2)2?=：lim2x 2 2 x 0 x注：1、乘积的极限写成极限的乘积时，必须每个乘积的极限存在。2、非弦函数化有弦函数课堂练习（一）求下列极限2sin x1、 lim 2x 0 x2、limx 0sin 2 4x3、x3lim 3x 0 3sin 2x4、 limx-1x ?tan x5、呵 X?8txsin 4x6、 lim -x 0 . x 1 1limxx1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.考察极限x时函数的变化趋势当x取正值并无限增大时，（1 l）x是逐渐增大的，但是不论x如何大，（1工）x的值总1、（1+ 一）观察：当x +不会超过3.实际上如果继续增大 x .即当x +时，可以验证（1）x是趋近于一个确定的x无理数e= 2.8.时，函数（1l）x有类似的变化趋势, x只是它是逐渐减小而趋向于20 lim xz 1 x(1+ 一)x特点:（1） lim （1+无穷小）无穷大案，即1型;（2） “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数,1 lim (1一)推广：lim(1 x)1x e lim0(1limx,1、3x(1+ )2x解:原式= xim(1 21x)332x 222=e2limx/1 、 3x 2(1+ )2x解:原式=lim (1+ )2x?（1+白2=limx(1+ ) 2x3x ? limx(1+ ) 2x322=e3、xlim (1+ -)解:原式=limx(1+ 1)x3x?33=elim ( 1 x2一)x解:原式=limx1+2 一） xlim 1+ 1 limx-)xx?(2)=e解：原式=lim x课堂练习（二）=limx3 x1 x (1+x 3)x = lim (1x)x = limx(1+ 1 )xx 3?(1 +)3= eP26 习作题 1 (4) ( 8)（三）无穷小的比较例：当 x 0 时， =3x, =x2= sin x2但 lim 一=0 limx 0 3x3xx2-lx”sin x 1=3x 3为了比较无穷小趋于零的快慢，引入无穷小阶定义：设某一极限过程中,与都是无穷小，且lim = CC=0,则称是比高阶的无穷小，记成 =0 ()也称是比低阶的无穷小。C 0,则称与是同阶无穷小。与是等价无穷小，记为等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时有重要作用。 常用的几个等价无穷小代换：当x 0时，有sinxtanx x arcsinx x2 x arctanx x 1 cosx 一2ln(1+x)1W x 1 一x2例10解:sin 3x 求 lim x 0 sin 4xsin3xlim =limx 0 sin 4x x 03x4x 4例11求 lxm01 cosx2x解:lim 1x 0cosx2x=lim2x2 = 1x2 - 2例12求 lxm0tan 2xsin 5x解:limx 0例13lxm0tan 2x=limsin 5x x 0tanx sin x3x2x _ 25x 5解:sin x(1 cosx)3x cosxx?1x22-3=limx ?cosx x 02cosx 2注：10用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换(或对分子、分母的因式进行替换)2 0分子或分母中若有“ +” “-”号连接的各部分不能分别作替换。四、练习求下列式子的极限：1 、3xtan2xsin3x3、xlim （1+ ）lim lim lim （1 + 一）x 2xx 0 sin 5x x 0 sin 4xx x五、归纳小结掌握两个重要极限，会运用两个重要极限求极限，理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义，掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量，会运用等价无穷小量求函数的极限。特别地，用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因 式进行替换），分子或分母中若有“ +” “-”号连接的各部分不能分别作替换。课后作业：求下列极限sin 3x蚂一 x1sin3x3、x(2)匕与(3) lim(1 3x)x (4)xim (1)sin 5xx 0x x反思录:备课教案第五周 星期五课 题函数的连续性所需课时2教学目的1 .理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。2 .了解连续函数的性质和初等函数的连续性，3 .了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。重 点1.函数连续性的有关概念及其应用2.间断点及其分类1 点连续性及复合函数连续性的概念及其应用难 点2 .函数的连续性的判定教学过程：一