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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,四、二次曲面,第三节 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离,化简得,即,引例,解 设轨迹上的动点为,的点的轨迹方程.,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,轨迹方程,定义1.,如果曲面,S,与方程,F( x, y, z ),= 0,有下述关系:,(1) 曲面,S,上的任意点的坐标都满足此方程;,则,F( x, y, z ) =,0 叫做曲面 S 的方程,曲面,S 叫做方程,F( x, y, z ),= 0 的,图形.,(2) 不在曲面,S,上的点的坐标不满足此方程,曲面研究的两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.,(2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状,( 必要时需作图 ).,故所求方程为,例1 求动点到定点,轨迹方程.,特别,当,M,0,在原点时,球面方程为,解 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的,表示上(下)球面 .,例2 研究方程,解 配方得,此方程表示:,一般地如下形式的三元二次方程,( A 0,),都可通过配方研究它的图形.,表示怎样的曲面.,半径为,的球面.,球心为,其图形可能是,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,定义2 一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线,旋转一周所形成的曲面叫做,旋转曲面.,该定直线称为,旋转轴,.,例如 :,建立,yoz,面上曲线,C,绕,z,轴旋转所成曲面,的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,在曲面上任取一点,给定,yoz,面上曲线 C:,则有,此时有,该点转到,思考：当曲线,C,绕,y,轴旋转,时，方程如何？,例3 试建立顶点在原点, 旋转轴为,z,轴, 半顶角,为 的圆锥面方程.,解 在,yoz,面上直线L 的方程为,绕,z,轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例4. 求坐标面,xoz,上的双曲线,分别绕,x,轴和,z,轴旋转一周所生成的旋转曲面,方程.,解,绕,x,轴旋转所成曲面方程为,绕,z,轴旋转所成曲面方程为,这两种曲面都叫做,旋转双曲面,.,三、柱面,引例,分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解,在,xoy,面上，,表示圆,C,沿曲线,C,平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,故在空间,过此点作平行 z 轴的直线 l ,称为,圆柱面,.,对任意,z,表示圆柱面.,在圆,C,上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成的轨迹叫做,柱面,.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线,l,为,xoy,面上的抛物线.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,表示母线平行于,z,轴的平面.,(且,z,轴在平面上),表示母线平行于,z,轴的椭圆柱面.,一般地,在三维空间二元方程表示柱面.,方程,母线,准线,平行于,z,轴,在,xoy,面,x,轴,yoz,面,xoz,面,y,轴,图形,四、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 .,研究二次曲面特性的基本方法:,截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),1. 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,与,的交线为,椭圆,：,同样,及,的截痕也为椭圆.,(3) 截痕:,(4) 当,a,b,时为旋转椭球面;,当,a,b,c,时为球面：,由看作椭圆 绕 轴旋转而成,或,2. 抛物面,(1) 椭圆抛物面,(,p , q,同号),特别,当,p,=,q,时为绕,z,轴的,旋转抛物面.,z,x,y,o,x,y,z,o,(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）,(,p,q,同号),x,y,z,o,3. 双曲面,(1)单叶双曲面,(2) 双叶双曲面,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,单叶双曲面,双叶双曲面,4.,椭圆锥面,内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,2. 二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面,:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面,:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面,:,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于,y,轴的直线,平行于,yoz,面,的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴,的圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考题,1.指出下列方程的图形:,2. P.318 题3 ,10,题10 答案:,在,xoy,面上,作 业,P.318,习题73,2 ; 4; 7 ; 8 (1), (5) ; 11,
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