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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,双曲抛物面,也称马鞍面,2.,双曲抛物面,定义,2,在直角坐标系下，由方程,（,2,）,所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程（,2,）叫,做双曲抛物面的标准方程，其中 为任意的正,常数,.,显然曲面（,2,）关于 面，面与 轴,对称，但是它没有对称中心,.,对称性,用坐标平面 曲截割曲面，就得,（,5,）,与,坐标面的截线,是,什么曲线？,这是一对相交于原点的直线，,方程可以进一步写为：,与,（,5,）,其次用坐标平面 与 来截割曲面,（,6,）,与,（,7,）,分别得方程,两抛物线,.,这两抛物线叫做双曲抛物面的主抛物线,.,主抛物线的特点,.,有相同的顶点与对称轴,.,（,6,）,（,7,）,它们所在的平面互相垂直，,但两抛物线的开口方向不同，抛物 线（,6,）沿,z,轴,方向开口，而抛物线（,7,）的开口方向却与,z,轴,方向相反,.,x,y,z,o,x,y,z,o,双曲抛物面主截线,z=0,x,=0,y=0,（,8,）,与坐标面平行的平面的截口,如果用平行于,xoy,面的平面,来截割曲面,截线方程为,:,总是双曲线,.,当 时，,与,x,轴平行，,双曲线（,8,）的实轴,虚轴与,y,轴平行，,x,y,z,o,当 时，,（,8,）,h0,时顶点,双曲线（,8,）的实轴,（,6,）,虚轴与,x,轴平行，,与,y,轴平行，,顶点,在主抛物线（,7,）上,（,7,）,在主抛物线（,6,）上,x,y,z,o,因此，曲面被,xoy,平面分割成上下两部分，,下半部沿,y,轴的两个方向下降，,上半部沿,x,轴的两个方向上升，,所以双曲抛物面也叫做马鞍曲面,.,曲面的大体形状象一只,马鞍子，,双曲抛物面的形状比较复杂，为了进一步明确它的结构，,我们再来观察用平行于,xoz,面的一组平行平面,来截割曲面,x,y,z,o,所得的截线方程,（,9,）,用平行于,xoz,面的一组平行平面,来截割曲面,这时截线仍然为抛物线,与主,抛物线,(6),比较,（,6,）,1.,与抛物线（,6,）是全等的，,2.,平行于这个主抛物线所在,的平面,xoz,y,x,o,z,（,9,）,3.,顶点,在另一主抛物线（,7,）上,（,7,）,即,:,抛物线,(9),的顶点在,(7),上,开口、大小与（,6,）相同且平行,.,它这样移动就生成整个马鞍面,(,双曲抛物面,看,下面的演示,y,x,o,z,用,z=a,截曲面,用,y=,0,截曲面,用,x=b,截曲面,x,z,y,0,平行截割法,（马鞍面）,双曲抛物面,平行截割法,.,双曲抛物面,（马鞍面）,x,z,y,0,用,z=a,截曲面,用,y=,0,截曲面,用,x=b,截曲面,平行截割法,.,双曲抛物面,（马鞍面）,x,z,y,0,用,z=a,截曲面,用,y=,0,截曲面,用,x=b,截曲面,椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们,都没有对称中心，所以又叫做无心二次曲面。,例1,作出球面 与旋转抛物面,的交线。,解,两曲面的交线为,（,1,）,（,2,）,（,2,）代入（,1,）得,即,由（,2,）知 ，所以取 ，因此交线方程,可改写为,或,这是平面 上,的一个圆，圆心,为 ，半径,为,2,，它的图形,如图,.,y,x,z,O,
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