32等差数列(二)(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,10/23/2024,3.2 等差数列（二）,1,等差数列,：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即,a,n,a,n-1,=,d,，（,n,2,，,n,N,+,），,这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“,d,”,表示）,复 习 回 顾,2,等差数列的通项公式：,a,n,=,a,1,+(,n,-1),d,(,a,n,=,a,m,+(,n-m,),d,),3,有几种方法可以计算公差,d,问题,：如果在,a,与,b,中间插入一个数,A,，使,a,，,A,，,b,成等差数列，那么,A,应满足什么条件？,由定义得,A-,a,=,b,-A,，,反之，若 ，则,A-,a,=,b,-A,也就是说， 是,a,A,b,成等差数列的,充要条件,即：,新 课 教 学,定义,：若,a,，,A,，,b,成等差数列，那么,A,叫做,a,与,b,的,等差中项,。,不难发现：在一个等差数列中，从第,2,项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。,如数列：,1,，,3,，,5,，,7,，,9,，,11,，,13,中,5,是,3,和,7,的等差中项，也是,1,和,9,的等差中项，,9,是,7,和,11,的等差中项，也是,5,和,13,的等差中项。,看来：,等差数列的,性质,：,思考,：,例,1,.,在等差数列,a,n,中,若,a,1,+,a,6,=9,a,4,=7,求,a,3,a,9,分析：,要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手,例 题 解 析,解,：,a,n,是等差数列,a,1,+,a,6,=,a,4,+,a,3,=9,d,=,a,4,a,3,=72=5,a,3,=9 ,a,4,=97=2,a,3,=2,a,9,=32,a,9,=,a,4,+(94),d,=7+5 5=32,此题亦可对已知条件运用等差数列的通项公式，,得到关于,a,1,和,d,的方程组，解出,a,1,和,d,，,再求,a,3,a,9,.,例,2,.,（,2009,安徽 文）,已知,a,n,为等差数列，,a,1,+,a,3,+,a,5,=105,a,2,+,a,4,+,a,6,=99,则,a,20,等于,A. -1 B. 1 C. 3 D.7,解析,: ,a,1,+,a,3,+,a,5,=105,即,3,a,1,=105 ,a,3,=35,同理可得,a,4,=33, ,公差,d,=,a,4,-,a,3,=-2,a,20,=,a,4,+(20-4),d,=1.,选,B.,例,3,.,等差数列,a,n,中，,a,1,+,a,3,+,a,5,=,12,且,a,1,a,3,a,5,=80.,求通项,a,n,分析,：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题,而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）,因此，首先做转化,-,a,n,=,10+3 (,n,1) = 3,n,13,或,a,n,=2,3 (,n,1) =,3,n,+5,分析：,由等差数列的定义，要判定,a,n,是不是等差数列,只要看,a,n,-,a,n-1,(,n,2),是不是一个与,n,无关的常数就行了,例,4,：,(,一起阅读教材例,4),解,：取数列中的任意相邻两项,a,n,-1,与,a,n,则有,a,n,-,a,n-1,=(,pn,+,q,)-,p,(,n,-1),+q,=,pn+q-,(,pn-p+q,),=p,它是一个与,n,无关的常数，所以,a,n,是等差数列，且公差是,p,，,在通项公式中令,n,=1,，得,a,1,=,p+q,.,所以数列,a,n,是一个以,p,+,q,为首项，,p,为公差的等差数列,.,由等差数列的通项公式,a,n,=,a,1,+(,n,-1),d,可得,a,n,=,dn,+(,a,1,-,d,).,令,p,=,d,q,=,a,1,-,d,则有,a,n,=,pn+q,.,所以等差数列的通项公式可表示为,a,n,=,pn+q,的形式,其中,p,，,q,是常数,.,而由例,4,可以看出，通项公式为,a,n,=,pn+q,(,p,q,为常数,),的数列是等差数列,.,综上所述，等差数列的性质为：,数列的通项公式为,a,n,=,pn+q,(,p,、,q,为常数,),数列,a,n,是等差数列,即：通项公式为,a,n,=,pn+q,(,p,、,q,为常数,),，是数列,a,n,为等差数列的充要条件当,p,0(,即公差,d,0,时,),，,a,n,是关于,n,的一次式，此时,(,n,，,a,n,),在一次函数,y,=,px+q,的图象上，所以，公差不为,0,的等差数列的图象是直线,y=,px+q,上的均匀排开的一群孤立点,例如，首项是,l,，公差是,2,的无穷等差数列的通项公式为,a,n,=2,n,-1,相应的图象是直线,y,=2,x,-1,上的均匀排开的无穷多个孤立点,(,见教材图,3-3),由图可知，,当公差,d,0,时，数列是一个递增数列，,当公差,d,0,时，数列是一个递减数列,思考,：,a,n,是关于,n,的一次式，是数列,a,n,为等差数列的什么条件,?,解析：由例,4,可知，如果,a,n,是关于,n,的一次式，即,a,n,=,pn,+,q,(,p,、,q,为常数,p,0),，那么数列,a,n,是等差数列，但并不是所有的等差数列的通项公式都可以表示为关于,n,的一次式当,d,=0,时，数列,a,n,是一个常数数列：,a,1, a,1, a,1,.,其通项公式为,a,n,=,a,1,不是关于,n,的一次式，所以,a,n,是关于,n,的一次式是数列,a,n,为等差数列的充分不必要条件,1.,在等差数列,a,n,中,已知,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,450,求,a,2,a,8,及前,9,项和,S,9,.,2.,已知,a,、,b,、,c,的倒数成等差数列，,求证： 的倒数也成等差数列,.,练 习,1.,在等差数列,a,n,中,已知,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,450,求,a,2,a,8,及前,9,项和,S,9,.,解：由等差中项公式：,由条件,:,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,450,得:5,a,5,450,a,5,90,a,2,a,8,2,a,5,180.,S,9,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,a,8,a,9,9a,5,810.,(,a,1,+,a,9,)+(,a,2,+,a,8,)+(,a,3,+,a,7,)+(,a,4,+,a,6,)+,a,5,a,3,a,7,2,a,5,，,a,4,a,6,2,a,5,2.,已知,a,、,b,、,c,的倒数成等差数列，,求证： 的倒数也成等差数列,.,分析,：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数,x,、,y,、,z,成等差数列的充要条件：,x,+,z,=2,y,证明：因为,a,、,b,、,c,的倒数成等差数列,即2,ac,=,b,(,a,+,c,),的倒数也成等差数列,.,3.,数列的通项公式为,(,p,、,q,为常数,),数列,是等差数列,4.,灵活应用等差数列的定义和性质解题,小 结,补充题：在,1 000,，,2 000,内，能被,3,整除且,被,4,除余,l,的整数共有多少个,?,83,个,