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,单击此处编辑母版标题样式,内容提要,1.,元素法；,2.,平面图形的,面积；,3.,立体的体积。,教学要求,1.,熟练掌握应用微元法去解决积分中的实,际应用题；,2.,熟悉各种平面面积的积分表达方法；,3.,熟练掌握应用微元法求体积的方法；,4.,能用定积分表达某些物理量。,定积分的应用,回顾,用定积分求曲边梯形面积的问题：,及直线,所围成的曲边梯形的面积,其求解步骤如下：,a,b,x,y,o,一、定积分的微元法,a,b,x,o,第一步：分割,将区间,任意分成,个小区间,由此曲边梯形就相应地分成,个小曲边梯形。,第二步：近似,形面积之和,即,所求的曲边梯形面积,A,为每个小曲边梯,为底,的小矩形面积,近似代替小曲边梯形面积,第三步：求和,第四步：取极限,总结：,上述四步中，由第一步知，,有关，,部分量的和，,可加性,.,分成许多小区间，,的面积,A,这个量就相应地分成许多部分量，,如果把区间,具有,这种性质称为所求量,A,对区间,则所求,而,A,是所有,a,b,x,o,所求面积,A,这个量与,就是定积分的被积表达式,a,b,x,o,上述第二步中的近似表达式,可确定定积分的被积表达式,方法是：,于是有,再将区间,则,可写为,称,为面积,A,的微元，,于是,即,记为,一般地，当所求量,F,符合下列条件：,以上方法称为,这就给出了定积分的被积表达式,于是,“,微元法”,微元法解决实际问题的一般步骤如下：,(1),根据问题的具体情况，,选取一个变量,例如取,为积分变量，,并确定它的变化区间,以上步骤要熟练掌握,!,如：平面图形的面积；,引力和平均值,;,液体的压力；,变力做功；,平面曲线的弧长；,体积；,注意,微元法解决实际问题的使用对象：,具有可加性的量,等等,.,二、平面图形的面积,1,）如果,则,S,S,即,（一）、在直角坐标系下的面积问题,如图,则,熟记,用微元法：,c,d,熟记,用微元法：,所围成的图形,例,1,计算由抛物线,的面积,A.,解,用微元法,确定积分区间：,解,方法一：选择,x,作积分变量,1,从而得到积分区间,区间上任取一小区,间,dA,面积微元,o,x,y,确定积分区间：,面积微元,方法二：选择,y,作积分变量,解得,y=0,y=1,从而得到积分区间,区间上任取一小区,间,1,y,y+dy,dA,解,求两曲线的交点,选 为积分变量,选,x,作积分变量时，需求,两块面积,y,y+dy,作面积微元,dA,dA,成的图形的面积,.,解,由对称性知总面积等于,4,倍第一象限部分面积,注意：,如果曲边梯形的曲边,的方程为参数方程：,o,曲边梯形的面积,由上例可知：,解,由对称性知总面积等于,4,倍第一象限部分面积,注意：,练习,面积微元,曲边扇形的面积,（二）、在极坐标系下的面积问题,所围成的图形，,称为曲边扇形,.,解,用微元法,解,解,所围平面图形的面积,A.,例,2,求心形线,解,由对称性知总面积,=4,倍第一象限部分面积,求双纽线,所围平面图形的面积,.,练习,2.,在极坐标系下的面积问题,三、体积,旋转体,圆柱,圆锥,圆台,（一）、旋转体的体积,由一个平面图形绕这个平面内一条,直线旋转一周而成的立体,这直线叫做,旋转轴,取横坐标,x,为积分变量,一般地,轴所围成的曲边梯形,及,x,轴旋转一周而成,绕,x,由连续曲线,直线,的立体,它的变化区间为,相应于,上任一小区,小曲边梯形,绕,x,轴旋转而成的薄片,近似地等于以,f(x),为底面半径、,dx,为高的圆柱体的,体积，,即体积微元为,于是，在闭区间,a,b,上作定积分，,得所求旋转体,体积为,的体积,例,1,圆锥体的体积,解,直线 的方程为,利用旋转体体积公式，,知：,例,2,计算椭圆,绕,x,轴旋转而形成的旋转体,的体积,.,解,这个旋转体可以看成,以半个椭圆,绕,x,轴旋转而成的立体,取积分变量为,x,利用,旋转体体积公式,，知：,所求的体积为,求星形线,绕,x,轴旋转,构成旋转体的体积,.,解,由,旋转体的体积公式,，知：,练习,类似地，如果旋转体是由连续曲线,),(,y,x,j,=,直线,c,y,=,、,d,y,=,及,y,轴所围成的曲边梯形,绕,y,轴旋转,体积为,熟记,一周而成的立体，,例,3,旋转一周而成的旋转体的,体积,.,图形,解,（二）、平行截面面积为已知的立体的体积,设一立体位于 过点,x=a,x=b 且垂直于 x 轴的两平面之间，,从而,用垂直于,x,轴的任一平面截此立体所得的截面积,A(x),是,x,的已知函数，,x,取,x 为积分变量，在区间 a,b 上任取一小区间,过其端点作垂直 x 轴的平面，,x,x+dx,作体积微元：,x,x+dx,x,x+dx,，,以,A(x),为底，,dx,为高作柱体，,用微元法：,解,取坐标系如图,底半圆方程为,截面面积,立体体积,而垂直于底面上一条固,定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积,.,解,设截面面积为,取坐标系如图,底圆方程,练习,解,设截面面积为,c,d,恰当的,选择积分变量,有助于简化积分运算,.,小结,1.,在直角坐标系下的面积问题,注意：,
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