【微积分】线性微分方程解的结构课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n,阶线性微分方程,第六节 线性微分方程解的结构,证毕,1. 线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(,叠加原理,),定理1.,说明:,不一定,是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,定义:,是定义在区间,I,上的,n,个函数,使得,则称这,n,个函数在,I,上,线性相关,否则称为,线性无关,.,例如，,在(, , ,)上都有,故它们在任何区间,I,上都线性相关;,又如，,若在某区间,I,上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间,I,上都 线性无关.,若存在,不全为,0,的常数,两个函数在区间,I,上线性相关与线性无关的,充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,( 无妨设,线性无关,常数,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,推论.,是,n,阶齐次方程,的,n,个线性无关解,则方程的通解为,则,2. 线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y,(,x,) 是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解 .,证:,将,代入方程左端, 得,是非齐次方程的解,又,Y,中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,解的叠加原理,推广:,分别是方程,的特解,是方程,的特解.,(非齐次方程之解的叠加原理),定理3, 定理4 均可推广到,n,阶线性非齐次方程.,定理 5.,是对应齐次方程的,n,个线性,无关特解,给定,n,阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例1.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 .,(反证法可证),例2.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,例3,解,（）由题设可得：,解此方程组，得,（）原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,思考题,思考题解答,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,对应齐次方程的通解,原方程的通解,练 习 题,练习题答案,