11.2直线的倾斜角和斜率

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.1,直线的倾斜角和斜率,北大附中 张志成,数学史,在数学史上，曾有几位数学家，他们想创造一种能解决世界上一切问题的方法，法国著名数学家笛卡尔就是期中一位，他们的设想是：,“,任何问题,数学问题,代数问题,方程问题,求解方程,得到结论,”,。因此，如何用代数的方法解决几何问题是他们遇到的难题之一。,据说一天，当笛卡尔躺在床上休息时，看见一只,苍蝇正在天花板上爬，突然苍蝇爬过的地方留下一个,小黑点，笛卡尔惊呆了，苍蝇爬过的痕迹不就是自己,研究的直线与曲线问题吗？这就产生了,解析几何学,，,有了直角坐标系，点就可以用坐标表示，从而使得用,代数方法来研究几何问题有了可能。,数学来源于生活,建立模型，引入新知,思考：,大桥的斜拉索的陡缓程度不一，我们如何建立恰当的数学模型来解释斜索的陡缓程度呢？,步骤一：,建立一个直角坐标系，如何建立最合理呢？,建模步骤：,思考:,这些斜拉索可以看成直角坐标系下的直线，这些直线有共同点与不同点呢？,步骤二：,在这个直角坐标系下，这些斜拉索可以看成什么呢？,探究一：直线的倾斜角,问题1:,在直角坐标系中，一条直线与x 轴相交，则该直线与,x,轴都有一个相对的倾斜度，用哪些量来刻画这种倾斜程度呢？,问题2：,当一条直线与x 轴相交会形成四个角，选用哪个角进行研究更方便些呢？,P,y,o,x,A,倾斜角的概念,当直线,与,轴相交时，我们取,轴作为基准，,轴正向与直线,向上方向,之间所成的,角,叫做直线的,倾斜角（,angle of inclination,）,o,y,x,A,问题4:,同学们自己画出已知直线的倾斜角,问题5：,倾斜角的范围是多少呢？,规定：直线 与 轴平行或重合时，倾斜角为,倾斜角的取值范围为：,倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，那么用代数中的,“,数,”,能否表示直线的倾斜程度呢？,物理学中：坡度,日常生活中，常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的坡度,(,倾斜程度,).,坡角,坡度,=,即坡角的正切值,.,倾斜角,坡度,?,前进,升高,通常用小写字母,k,表示，即,一条直线的倾斜角的正切值叫做这条,直线的斜率,（,slope,）,.,二,.,直线的斜率,思考：,当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角是多少？,x,y,o,探究二：倾斜角与斜率的关系,倾斜角,斜率,斜率的取值范围：,p,o,y,x,y,p,o,x,p,o,y,x,p,o,y,x,练习：,1,、已知下列命题：,若,是直线,l,的倾斜角，则,0,0,180,0,.,若,k,是直线的斜率，则,kR.,任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率,.,任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角,.,其中正确的命题有 （）,A 0,个,B 1,个,C 2,个,D 3,个,D,2,、直线,l,1,l,2,l,3,的斜率分别是,k,1,k,2,k,3,则（）,A k,1,k,2,k,3,B k,3,k,1,k,2,C k,3,k,2,k,1,D k,1,k,3,k,2,o,x,y,l,2,l,3,l,1,D,问题,7.,在平面直角坐标系中，已知直线上两点,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),且,(x,1,x,2,),，能否用点的坐标来表示直线斜率？,探究三：过两点的直线的斜率公式,我们已知两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。那么直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。,探究：,（）,X,Y,O,X,Y,O,（）,X,Y,O,（）,当直线的方向,向上,时：,图,(1),在 中，,图,(2),在中，,X,Y,O,（,1,）,当直线的方向,向下,时，,同理也有,例,1.,求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角,.,已知,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,)(x,1,x,2,),则直线,P,1,P,2,的,斜率公式：,k=,(1)A(3,2),B(-4,1),问题,8.,斜率公式与,P,1,P,2,两点的顺序有关吗？,特殊地,当直线与,x,轴,y,轴平行或重合时，结论是否成立？,(2)B(-4,1),C(0,-1),变式,:,对于,(1),若求,BA,两点的斜率呢？,若把,B,改为,D(2,2),呢？,若把,B,改为,D(3,4),呢？,例,2.,在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为,1,，,-1,，,2,和,-3,的直线。,O,x,y,A,3,A,1,A,2,A,4,(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-3),当堂检测答案：,1,：（,1,）（,2,）,（,3,）（,4,）,2,：,3,：,4,：,5:,当堂检测,k,tan,（,90,）,1,直线的倾斜角,2,直线的斜率：,（其中,x,1,x,2,）,定义,范围,三、小结：,1,、学完本节课你有哪些收获？,知识？,思想？,四、课后作业：,课后练习：课本,89,页,1,，,2,，,3,，,4,学案课后练习：,1,，,2,谢谢大家，,再见！,