期权定价的二叉树模型介绍

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,*,1,6,期权定价的,二,二叉树模型,假设条件,:,(1),最基本的模,型,型为不支付,股,股利的欧式,股,股票看涨期,权,权定价模型,(2),股票市场与,期,期权市场是,完,完全竞争的,市场运行是,非,非常具有效,率,率的,(3),股票现货与,期,期权合约的,买,买卖,不涉及交易,成,成本,而且也不存,在,在税收问题,(4),市场参与者,可,可按已知的,无,无风险利率,无,无限制地借,入,入资金或贷,出,出资金,利率在期权,有,有效期内保,持,持不变,而且不存在,信,信用风险或,违,违约风险,2,6.1,单期模型,6.1.1,单期二叉树,期,期权定价模,型,型,设目前为,0,期，期权合,约,约的基础资,产,产（如股票,）,）价格的现,行,行市场价格,为,为,S,，在下一期,股,股票价格变,动,动只存在两,种,种可能的结,果,果：或者股,票,票价格上升,至,至,S,u,，或者股票,价,价格下降至,S,d,，而上升或,下,下降的概率,呈,呈二次分布,状,状。在这里,下,下标号,u,和,d,表示变量数,值,值上升或下,降,降为原数值,的,的倍数，即,u1,，,d1,。与此相对,，,，股票看涨,期,期权的初始,价,价值为,c,，在下一期,（,（欧式期权,的,的到期日）,伴,伴随着股票,价,价格的上涨,或,或下跌，该,期,期权合约的,价,价格也有两,种,种可能，即,要,要么上升至,c,u,，要么下降,至,至,c,d,，作图。二,叉,叉树、节点,、,、路径,3,6.1,单期模型,SC,由于这个图,形,形犹如一根,叉,叉开的树枝,，,，所以被称,为,为“二叉树,”,”，模型中,，,，每一个数,值,值被称作是,一,一个节点，,每,每一条通往,各,各节点的线,称,称作路径。,Su,Sd,Cu,Cd,4,第一节 单,期,期模型,例,8-1,设股票的现,价,价,(S),为,$100,3,月看涨期权,的,的执行价格,(K),为,$110,。在,U=1.3,和,d=0.9,情况下，期,权,权价值？,5,分析：,当前下一期,股票价格（,s,u,）,=$130,u=1.3,期权价值（,c,u,）,=,股票价格（,s,）,=$100max(s,u,-k,，,0)=$20,期权价值（,c,）,=,？,d=0.9,股票价格（,s,d,）,=$90,期权价值（,c,d,）,=,max,（,s,d,-k,0)=0,6,资产组合的,目,目前成本与,未,未来价值,7,$130,-$20=$90,(,风险中性假,定,定）,=0.5,股,票,票,上,上,涨,涨,：,：,VT=$130,0.5-$20=$45,股,票,票,下,下,跌,跌,：,：,VT=$90 x0.5=$45,根,据,据,有,有,效,效,市,市,场,场,的,的,假,假,设,设,，,，,在,在,不,不,冒,冒,风,风,险,险,的,的,情,情,况,况,下,下,，,，,人,人,们,们,在,在,金,金,融,融,市,市,场,场,上,上,只,只,能,能,赚,赚,得,得,无,无,风,风,险,险,利,利,率,率,。,。,换,换,言,言,之,之,，,，,资,资,产,产,组,组,合,合,在,在,当,当,前,前,的,的,价,价,值,值,，,，,是,是,其,其,在,在,到,到,期,期,日,日,的,的,价,价,值,值,($45),按,无,无,风,风,险,险,利,利,率,率,进,进,行,行,贴,贴,现,现,后,后,的,的,现,现,值,值,。,。,假,假,定,定,无,无,风,风,险,险,利,利,率,率,为,为,10%,，,而,而,且,且,按,按,连,连,续,续,复,复,利,利,进,进,行,行,贴,贴,现,现,，,，,那,那,么,么,：,：,V0=$45xe,-10%x0.25,=$43.89,43.89=100 x0.5-c,C=50-43.89=$6.11,8,按,上,上,分,分,析,析,：,：,股,票,票,上,上,涨,涨,V,T,=S,u,x,-C,u,股,票,票,下,下,跌,跌,V,T,=S,d,x,-C,d,S,u,x,-C,u,=S,d,x,-C,d,6.1.2,单,期,期,二,二,项,项,式,式,期,期,权,权,定,定,价,价,模,模,型,型,的,的,通,通,用,用,公,公,式,式,被,称,称,为,为,套,套,期,期,保,保,值,值,比,比,率,率,，,，,它,它,代,代,表,表,无,无,风,风,险,险,资,资,产,产,组,组,合,合,所,所,要,要,求,求,的,的,股,股,票,票,持,持,有,有,量,量,。,。,设,设,无,无,风,风,险,险,利,利,率,率,为,为,r,且,dru(,一,定,定,成,成,立,立,，,，,否,否,则,则,市,市,场,场,失,失,衡,衡,，,，,就,就,会,会,产,产,生,生,套,套,利,利,）,）,保,值,值,型,型,资,资,产,产,组,组,合,合,的,的,现,现,值,值,为,为,：,：,（,S,u,x,-C,u,）,e,-rt,，,或,或,者,者,（,S,d,x,-C,d,）,e,-,r,t,;,而,目,目,前,前,资,资,产,产,成,成,本,本,：,：,Sx,-C,；,市,市,场,场,均,均,衡,衡,时,时,，,，,二,二,者,者,相,相,等,等,（,S,d,x,-C,d,）,e,-rt,=Sx,-C,；,C=Sx,-,（,S,d,x,-C,d,）,e,-rt,;,9,均,衡,衡,价,价,格,格,下,下,保,保,值,值,型,型,资,资,产,产,组,组,合,合,只,只,能,能,赚,赚,得,得,无,无,风,风,险,险,利,利,率,率,6.1.3,期,权,权,定,定,价,价,与,与,无,无,风,风,险,险,套,套,利,利,10,假,定,定,价,价,格,格,为,为,$5.00,，,在,在,期,期,权,权,价,价,格,格,被,被,低,低,估,估,的,的,情,情,况,况,下,下,11,假,定,定,价,价,格,格,为,为,$8.00,，,在,在,期,期,权,权,价,价,格,格,被,被,高,高,估,估,的,的,情,情,况,况,下,下,12,6.1.4,期,权,权,定,定,价,价,中,中,的,的,风,风,险,险,中,中,立,立,假,假,设,设,二,叉,叉,树,树,期,期,权,权,定,定,价,价,模,模,型,型,并,并,不,不,依,依,赖,赖,于,于,投,投,资,资,者,者,对,对,待,待,风,风,险,险,的,的,态,态,度,度,。,。,也,也,不,不,涉,涉,及,及,股,股,票,票,价,价,格,格,涨,涨,跌,跌,的,的,概,概,率,率,。,。,究,究,其,其,原,原,因,因,是,是,因,因,为,为,在,在,金,金,融,融,市,市,场,场,上,上,有,有,价,价,证,证,券,券,的,的,价,价,格,格,涨,涨,跌,跌,的,的,概,概,率,率,都,都,已,已,经,经,反,反,映,映,在,在,现,现,行,行,的,的,市,市,场,场,价,价,格,格,之,之,中,中,，,，,所,所,以,以,没,没,有,有,必,必,要,要,再,再,对,对,以,以,股,股,票,票,作,作,为,为,基,基,础,础,资,资,产,产,的,的,期,期,权,权,定,定,价,价,另,另,外,外,作,作,出,出,股,股,票,票,涨,涨,跌,跌,概,概,率,率,的,的,假,假,设,设,。,。,由,由,此,此,可,可,见,见,，,，,公,公,式,式,中,中,13,将,q,和,1-q,解,释,释,成,成,股,股,票,票,价,价,格,格,上,上,涨,涨,和,和,下,下,跌,跌,的,的,假,假,概,概,率,率,，,，,实,实,际,际,上,上,默,默,认,认,了,了,定,定,价,价,中,中,风,风,险,险,中,中,立,立,估,估,价,价,原,原,则,则,假,假,定,定,。,。,推,推,导,导,如,如,下,下,：,：,E(S,T,)=qS,u,+(1-q)S,d,E(S,T,)=qS(u-d)+S,d,再将,q=(e,rT,-d)/(u-d),代入,得：,E(S,T,)=Se,rT,14,6.1.5,二项式,期,期权定,价,价中的,u,和,d,二叉树,期,期权定,价,价模型,中,中,u,和,d,与基础,资,资产价,格,格的波,动,动性是,有,有联系,的,的，即,u,和,d,的数值,取,取决于,的大小,及,及,t,的长短,。,。推导,如,如下：,15,6.2,两步二,叉,叉树期,权,权定价,模,模型,6.2.1,欧式看,涨,涨,例,6-4,有一种,执,执行价,格,格为,$110,，期限,为,为,6,个月（,每,每,3,个月算,一,一期，,共,共两期,）,）的欧,式,式看涨,股,股票期,权,权，作,为,为其基,础,础资产,的,的股票,价,价格每,隔,隔,3,个月变,动,动一次,，,，或上,涨,涨,30%,，或下,跌,跌,10%,，且,u,和,d,在期权,的,的有效,期,期内保,持,持不变,，,，求期,权,权期初,价,价值。,16,例,6-5,有一种,执,执行价,格,格为,$110,，期限,为,为,6,个月（,每,每,3,个月算,一,一期，,共,共两期,）,）的欧,式,式看跌,股,股票期,权,权，作,为,为其基,础,础资产,的,的股票,价,价格每,隔,隔,3,个月变,动,动一次,，,，或上,涨,涨,30%,，或下,跌,跌,10%,，且,u,和,d,在期权,的,的有效,期,期内保,持,持不变,，,，求期,权,权期初,价,价值。,6.2.2,欧式看,跌,跌期权,的,的两期,定,定价模,型,型,17,例,6-6,设某公,司,司股票,的,的现价,为,为,$80,，在,3,期（每,6,个月为,1,期，,180,月）二,杈,杈树模,型,型中，,假,假定,u=1.5,d=0.5,敲定价,格,格,$80,无风险,利,利率为,20%,。计算,模,模型各,节,节点的,股,股价、,期,期权价,、,、假概,率,率、,值,6.2.3,无风险,资,资产组,合,合的套,期,期保值,率,率,18,6.3,期权定,价,价,N,期模型,的,的通用,公,公式,19,6.4,美式期,权,权的二,叉,叉树定,价,价模型,6.4.1,美式看,涨,涨期权,的,的定价,及,及其不,可,可能提,前,前执行,的,的理由,无红利,支,支付情,况,况下，,美,美式看,涨,涨期权,的,的定价,例：某,公,公司股,票,票的现,行,行市价,为,为,$100,，假定,股,股价每,三,三个月,涨,涨跌一,次,次（即,t=0.25,年），,u=1.2,，,d=0.8,。假定,有,有一项,以,以该公,司,司股票,为,为基础,资,资产的,美,美式看,涨,涨期权,，,，执行,价,价格为,$104,，期限,为,为,9,个月，,当,当时市,场,场上的,无,无风险,利,利率为,10%,。判断,提,提前执,行,行的可,能,能性及,期,期初价,值,值。,1,）股价,二,二杈树,图,图：,172.8Cuuu=68.8,144,120115.2Cuud=11.2,10096,8076.8Cudd=0,64,51.2Cddd=0,20,6.4.2,美式看,跌,跌期权,的,的定价,及,及其提,前,前执行,的,的可能,性,性,例：某,公,公司股,票,票的现,行,行市价,为,为,$100,，假定,股,股价每,三,三个月,涨,涨跌一,次,次（即,t=0.25,年），,u=1.2,，,d=0.8,。假定,有,有一项,以,以该公,司,司股票,为,为基础,资,资产的,美,美式看,跌,跌期权,，,，执行,价,价格为,$104,，期限,为,为,9,个月，,当,当时市,场,场上的,无,无风险,利,利率为,10%,。判,断,断提,前,前执,行,行的,可,可能,性,性及,期,期初,价,价值,。,。,1,）股,价,价二,杈,