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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第九章 圆锥曲线,椭圆及其标准方程,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,生活中的椭圆,仙女座星系,星系中的椭圆,“传说中的”飞碟,太阳系行星的运动,数学实验,(1)取一条细绳，,(2)把它的两端固定在板上的两个定点F,1,、F,2,(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的 图形,思考,数学实验,(1)取一条细绳，,(2)把它的两端固定在板上的两个定点F,1,、F,2,(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的 图形,1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？,2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？,3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,请你归纳出椭圆的定义?,F,2,F,1,M,(1)由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离和是个定值,（2）点M到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离,根据上面的内容你更给,出椭圆的定义吗？,（一）椭圆的定义,平面内到两个定点F,1,，F,2,的距离之和等于常数（2a）（大于|F,1,F,2,|）的点的轨迹叫椭圆。,定点F,1,、F,2,叫做椭圆的焦点。,两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。,椭圆定义的文字表述：,椭圆定义的符号表述：,(2a2c),M,F,2,F,1,y,x,O,r,设圆上任意一点,P(x，y),以圆心,O,为原点，建立直角坐标系,两边平方，得,回忆如何求圆的方程的？,探讨建立平面直角坐标系的方案,建立平面直角坐标系通常遵循的原则：,对称、“简洁”,O,x,y,O,x,y,O,x,y,M,F,1,F,2,方案一,F,1,F,2,方案二,O,x,y,M,O,x,y,解：取过焦点,F,1,、,F,2,的直线为,x,轴，线段,F,1,F,2,的垂直平分线为,y,轴，,建,立平面直角坐标系(如图).,设,M,(,x,y,)是椭圆上任意一,点，椭圆的焦距2,c,(,c,0)，,M,与,F,1,和,F,2,的距离的和等于正,常数2,a,(2,a,2,c,),，则,F,1,、,F,2,的坐标分别是(,c,0)、(,c,0),.,x,F,1,F,2,M,0,y,（问题：下面怎样,化,简？）,由椭圆的定义得，,限,制条件,：,代,入坐标,2.椭圆的标准方程的推导,两边除以 得,由椭圆定义可知,整理得,两边再平方，得,移项，再平方,焦点在y轴：,焦点在x轴：,椭圆的标准方程,1,o,F,y,x,2,F,M,1,2,y,o,F,F,M,x,记忆方法：在那个字母下面，焦点就在哪个坐标轴（哪个字母下面的数大，焦点就在哪个轴上）,图 形,方 程,焦 点,F,(,c,，0),F,(0，,c,),a,b,c,之间的关系,c,2,=,a,2,-,b,2,MF,1,+,MF,2,=2,a,(,2,a,2,c,0,),定 义,1,2,y,o,F,F,M,x,1,o,F,y,x,2,F,M,两类标准方程的对照表,注:,共同点：,椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；,方程的左边是平方和，右边是1.,不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.,焦点在y轴的椭圆 项分母较大.,1.,口答：下列方程哪些表示椭圆？,练习,一,：,例1、填空：,(,1),已知椭圆的方程为：，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F,1,的弦，则,F,2,CD的周长为_,例题,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,F,1,F,2,C,D,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：,焦点在分母大的那个轴上。,|CF,1,|+|CF,2,|=2a,练习,二,：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明a,2,、b,2,，写出焦点坐标,答：在 X 轴（,-,3，0）和（3，0）,答：在 y 轴（0，,-,5）和（0，5）,答：在y 轴。（0，,-,1）和（0，1）,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：,焦点在分母大的那个轴上。,0b3,3.已知方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则,m,的取值范围是,.,变式：,已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则,m,的取值范围是,.,(0,4),(1,2),4、,已知椭圆的方程为：，请,填空：,(1),a,=_，,b,=_，,c,=_，焦点坐标为_，焦距等于_.,(2)若,C,为椭圆上一点，,F,1,、,F,2,分别为椭圆的左、右焦点，,并且,CF,1,=2,则,CF,2,=_.,5,4,3,6,(-3,0)、(3,0),8,例、写出适合下列条件的椭圆的标准方程,1,2,小结:,先定位(焦点)再定量(a,b,c),椭圆的,焦点位置,不能确定时,椭圆的标准方程一般有,两种,情形,必须,分类求出,例3：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。,解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F,1,、F,2,表示，取过点F,1,、F,2,的直线为x轴，线段F,1,F,2,的垂直平分线为,y,轴建立直角坐标系。,2,a,=10 2,c,=8 ,a,=5,c,=4,b,2,=,a,2,c,2,=9,b,=3,因此这个椭圆的标准方程是：,y,o,B,C,A,x,定义法求轨迹方程。,习,题:,已知ABC的一边BC固定，长为8，周长为18，求顶点A的轨迹方程。,.,解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为：,y,o,B,C,A,x,2,a,=10,2,c,=8 ,a,=5,c,=4,b,2,=,a,2,c,2,=5,2,4,2,=9,所求椭圆的标准方程为:,注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下,方程的曲线,上的点是否都是符合题意。,练习：,求适合下列条件的椭圆的标准方程：,(2),焦点为,F,1,(0,3),F,2,(0,3),且,a=5.,答案：,(1)a=,b=1,焦点在x轴上;,(3),两个焦点分别是,F,1,(2,0)、F,2,(2,0),且过,P(2,3),点；,(4),经过点,P(2,0),和,Q(0,3).,小结：求椭圆标准方程的步骤：,定位：,确定焦点所在的坐标轴；,定量：,求,a,b,的值.,
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