空间平面方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、,平面的点法式方程,二、平面的一般方程,一、平面的点法式方程,例,1.,求过三点,即,解,:,取该平面,的法向量为,的平面,的方程,.,利用点法式得平面,的方程,由平面的点法式方程,二、平面的一般方程,得平面方程一定是三元一次方程,.,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为,平面的一般,任取一组满足上述方程的解,则,显然方程,与此点法式,方程等价,的平面,因此方程,的图形是,法向量为,方程,.,因此三元一次方程一定是平面方程,.,特殊情形,当,D,=0,时,A x,+,B y,+,C z,=0,表示,通过原点,的平面,;,当,A,=0,时,B y,+,C z,+,D,=0,平面,平行于,x,轴,;,A x+C z+D,=0,表示,A x+B y+D,=0,表示,C z,+,D,=0,表示,A x,+,D,=0,表示,B y,+,D,=0,表示,平行于,y,轴,的平面,;,平行于,z,轴,的平面,;,平行于,xoy,面 的平面,;,平行于,yoz,面 的平面；,平行于,zox,面 的平面,.,例,2.,求通过,x,轴和点,(4,3,1),的平面方程,.,解,:,因平面通过,x,轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,一定过原点,平面与,x,轴平行,设平面是为,将三点坐标代入得,解,:,例,3,.,用平面的一般式方程导出平面的截距式方程,.,设平面与,x,y,z,三轴分别交于,P,(,a,0,0),Q,(0,b,0),R,(0,0,c,),(,其中,a,b,c,不为,0),求此平面方程,.,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,a,b,c,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,例,4:,求平行于平面,6,x,+,y,+6,z,+5=0,而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程,.,化简得,令,代入体积式,所求平面方程为,三、两平面的夹角,设平面,1,的法向量为,平面,2,的法向量为,则两平面夹角,的余弦为,即,两平面法向量的夹角,(,常为,锐角,),称为,两平面的夹角,.,特别有下列结论：,例,5.,一平面通过两点,垂直于平面,:,x+y+z,=0,求其方程,.,解,:,假,设平面有一法向量为,和,且,外一点,求,例,6.,设,解,:,设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离,d.,则,P,0,到平面的距离为,(,点到平面的距离公式,),内容小结,1.,平面基本方程,:,一般式,点法式,截距式,2.,平,面,与平面,之间的关系,平面,平面,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,课堂习题,1.,求过点,且垂直于,二,平面,和,的平面方程,.,解,:,已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,